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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 503 — #509
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b)Integrando sobre todos los posibles valores x o y se encuentra que

#
1{2 si ´ 1 ă x ă 1,
f X pxq“
0 en otro caso.
#
1{2 si ´ 1 ă y ă 1,
f Y pyq“
0 en otro caso.
c)Integrando la funci´on de densidad fpx, yq hasta un punto px, yq cual-
quiera se encuentra que

$
’ 0 si x ă ´1o y ă ´1,
’
’
’ px ` 1qpy ` 1q{4 si ´ 1 ď x ă 1, ´1 ď y ă 1,
’
’
&
Fpx, yq“ px ` 1q{2 si ´ 1 ď x ă 1,y ě 1,
’
’ py ` 1q{2 si x ě 1, ´1 ď y ă 1,
’
’
’
’
1 si x ě 1,y ě 1.
%
d)A partir de Fpx, yq se puede encontrar que
$
’ 0 si x ă ´1,
&
F X pxq“ px ` 1q{2 si ´ 1 ď x ă 1,
’
1 si x ě 1.
%
$
’ 0 si y ă ´1,
&
F Y pyq“ py ` 1q{2 si ´ 1 ď y ă 1,
’
1 si y ě 1.
%
e)Las variables X y Y son independientes pues se puede verificar que
Fpx, yq“ F X pxqF Y pyq para cualquier valor de px, yq.Equivalentemen-
te, fpx, yq“ f X pxqf Y pyq para todo px, yq.
482. a)Son independientes, pues fpx, yq“ f X pxqf Y pyq para todo x, y P R.
b)No son independientes, pues, por ejemplo, 1{30 “ fp0, 0q‰ f 1 p0qf 2 p0q“
p6{30qp8{30q.
c) Son independientes, pues puede confirmarse que fpx, yq“ f X pxqf Y pyq
para todo x, y P R.
d)Son independientes, pues fpx, yq“ f X pxqf Y pyq para todo x, y P R.
e)No son independientes, pues f X pxq“ x`1{2para 0 ă x ă 1ytambi´en
f Y pyq“ y`1{2para0 ă y ă 1. En general, fpx, yq‰ f X pxqf Y pyq para
0 ă x, y ă 1.

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