Page 509 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 499 — #505
✐ ✐

499

n y
$ ˆ ˙
& n´y si y “ 0,... ,n,
p p1 ´ p 2 q
2
f Y pyq“ y
0 en otro caso.
%
472. Sumando las cuatro entradas de la tabla se comprueba que esta es una fun-
ci´on de probabilidad bivariada. Sumando las entradas en el mismo rengl´on,
o en la misma columna, se encuentran las funciones de probabilidad margi-
nales. Ambas son Berppq.Esto muestra que existen distribuciones conjuntas
distintas que pueden producir las mismas distribuciones marginales.

473. El procedimiento es similar al utilizado para demostrarque fpx, yq es una
funci´on de densidad bivariada en el Ejercicio 463. Por ejemplo, para encon-
trar la funci´on de densidad marginal de Y es necesario calcular la integral
de fpx, yq respecto de x. Al fijarnos en los t´erminos que involucran a es-
ta variable en el exponente, se puede completar el cuadrado dela siguiente
forma

1 „ px ´ µ 1 q 2 2ρ ȷ
´ 2 2 ´ px ´ µ 1 qpy ´ µ 2 q
2p1 ´ ρ q σ σ 1 σ 2
1
1 ˆ px ´pµ 1 `pρσ 1 {σ 2 qpy ´ µ 2 qqq 2 ρ 2 py ´ µ 2 q 2 ˙
“´ 2 ´ 2 .
2
2 σ p1 ´ ρ q 1 ´ ρ 2 σ 2
1
Entonces la integral respecto de x corresponde a la integral de una funci´on
de densidad normal univariada con media µ 1 `pρσ 1 {σ 2 qpy ´ µ 2 q yvarianza
2
2
σ p1 ´ ρ q.Al incorporar la constanteadecuada,esta integralvale uno, y
1
al reducir las expresiones se obtiene la funci´on de densidadnormal en la
2
variable y,conmedia µ 2 yvarianza σ . Por simetr´ıa, se obtiene el resultado
2
correspondiente a la variable X.
$
’ 0 si x ă 0´o y ă 0,
’
’
’ 1{8 si 0 ď x ă 1y 0 ď y ă 1,
’
’
&
474. F X,Y px, yq“ 3{8 si 0 ď x ă 1y y ě 1,
’
’ 3{8 si 0 ď y ă 1y x ě 1,
’
’
’
’
1 si x ě 1y y ě 1.
%
$
’ 0 si u ă 0,
&
F X puq“ F Y puq“ 3{8 si 0 ď u ă 1,
’
1 si u ě 1.
%
475. Se presentan ´unicamente las expresiones anal´ıticas deestas funciones y se
omiten las gr´aficas.
✐ ✐

✐ ✐