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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 495 — #501
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a) PpX ď 1{2,Y ď 1{2q“ 1{2. c) PpX ą 2Y q“ 1{3.
2
b) PpX ` Y ą 2{3q“ 5{9. d) PpY ą 2X q“ 7{12.
#
p1 ` 2p6 ´ xqq{36 si x “ 1,... , 6,
460. f X pxq“
0 en otro caso.
461. Sea i un posible valor de X ysea j un posible valor de X ` Y .Paravalores
i y j tales que 1 ď j ´ i ď 6,

PpX “ i, X ` Y “ jq“ PpX “ i, Y “ j ´ iq“ 1{36.

462. Las probabilidades PpX “ 0 | Y “ 0q y PpX “ 0q satisfacen la relaci´on
buscada cuando pX, Y q tiene distribuci´on:

x z y 0 1 x z y 0 1 x z y 0 1

aq 0 0 1{4 bq 0 1{4 1{4 cq 0 1{2 0
1 1{4 1{2 1 1{4 1{4 1 1{4 1{4

2
463. a)Claramente fpx, yq ě 0. La integral de fpx, yq sobre R se puede calcu-
lar integrando primero sobre la variable x ydespu´essobrela variable y.
Al considerar la integral sobre x, nos fijamos en los t´erminos que invo-
lucran a esta variable en el exponente y se puede completar el cuadrado
de la siguiente forma
1 „ px ´ µ 1 q 2 2ρ ȷ
´ 2 2 ´ px ´ µ 1 qpy ´ µ 2 q
2p1 ´ ρ q σ σ 1 σ 2
1
1 ˆ px ´pµ 1 `pρσ 1 {σ 2 qpy ´ µ 2 qqq 2 ρ 2 py ´ µ 2 q 2 ˙
“´ 2 ´ 2 .
2
2 σ p1 ´ ρ q 1 ´ ρ 2 σ
1 2
Ahora la integral sobre x corresponde a la integral de una funci´on de
densidad normal univariada con media µ 1 `pρσ 1 {σ 2 qpy´µ 2 q yvarianza
2
2
σ p1´ρ q.Al incorporarla constanteadecuada, esta integralvaleuno,
1
yal reducir las expresiones seobtiene la funci´on dedensidad normal
2
en la variable y,con media µ 2 yvarianza σ ,cuya integral es uno.
2
b)La matriz inversa de Σ aparece abajo. Haciendo las multiplicaciones
del vector px ´ µ 1 ,y ´ µ 2 q por la izquierda y por la derecha de Σ ´1 ,se
obtiene la expresi´on buscada.
1 ˆ σ 2 2 ´ρσ 1 σ 2 ˙
´1
Σ “ 2 2 2 .
2
p1 ´ ρ qσ σ ´ρσ 1 σ 2 σ 1
1 2

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