Page 503 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 493 — #499
✐ ✐

493

? ? ?
449. Use la f´ormula f X 2pxq“ pf X p xq` f X p´ xqqp1{p2 xqq,para x ą 0. Subs-
tituyendo la expresi´on de la funci´on de densidad tpnq se obtiene, para x ą 0,

Γppn ` 1q{2q ´1{2 ´pn`1q{2
f X 2pxq“ ? x p1 ` x{nq ,
nπ Γpn{2q
correspondiente a la funci´on de densidad Fp1,nq.
450. Para cualquier x ą 0,

F 1{X pxq“ Pp1{X ď xq“ PpX ě 1{xq“ 1 ´ PpX ď 1{xq“ 1 ´ F X p1{xq.

2
Por lo tanto, f 1{X pxq“ f X p1{xqp1{x q.Substituyendo tenemos, para x ą 0,
a`b
a
Γp 2 q ´ ¯ a{2 1´a{2 a 1 ´pa`bq{2 1
f 1{X pxq“ a b x p1 ` q 2
Γp qΓp q b b x x
2 2
a`b ˆ ˙ b{2´1
Γp 2 q b b{2 b ´pa`bq{2
“ x p1 ` xq .
a b
Γp qΓp q a a
2 2
451. a) PpX ą 0,Y ě 1q“ 15{30. f ) PpY ď 1 |X “ 1q“ 4{6.
b) PpX ď 1,Y ě 1q“ 11{30. g) PpXY “ 0q“ 15{30.
c) PpX “ 1q“ 10{30. h) PpXY ě 2q“ 15{30.
d) PpY “ 2q“ 14{30. i) PpY ě 2Xq“ 12{30.
e) PpX “ 0 |Y “ 2q“ 3{14. j) PpX ` Y sea imparq“ 16{30.

452. a) PpX ď 1{2,Y ě 1{2q“ 3{32. f ) Pp|X ´ Y | ď 1{2q“ 7{8.
b) PpY ě 1{2q“ 3{4. g) PpXY ă 1q“ 1.
2
c) PpX ď 1{2 | Y ě 1{2q“ 1{8. h) PpY ě X q“ 4{7.
2
2
d) PpX ` Y ą 1q“ 9{10. i) PpX ` Y ď 1q“ 2{5.
e) PpY ą Xq“ 2{5. j) PpY ď 4Xp1 ´ Xqq “ 16{35.
453. Claramente las funciones son no negativas. Adem´as,

8 8 8
ÿ ÿ ´x ÿ ´y
a) 2 ´px`yq “p 2 qp 2 q“ 1.
x,y“1 x“1 y“1
8 8 8
ÿ x`2y ÿ x ÿ y
b) 16p1{3q “ 16 p p1{3q qp p1{9q q“ 1.
x,y“1 x“1 y“1

✐ ✐

✐ ✐