Page 500 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 490 — #496
✐ ✐

490 C. Sugerencias a los ejercicios

anterior. Se comprueba que esta f´ormula se puede escribir ent´erminos de la
funci´on gamma, como aparece en el enunciado. Por ´ultimo, cuando m ě n,el
m-´esimo momento no est´a definido pues el integrando no es absolutamente
convergente, en efecto, denotando por c alasconstantes involucradas,

8 n`1
ż
m
m
2
Ep|X| q“ c |x| p1 ` x {nq ´ 2 dx.
´8
El integrando es un polinomio cuyo grado es m ´pn ` 1q.De modo que la
integral es divergente cuando m ´pn ` 1q ě ´1, es decir, cuando m ě n.

441. La funci´on de densidad fpxq de la distribuci´on tpnq es una funci´on par,
estrictamente creciente en p´8, 0q yestrictamente decrecienteen p0, 8q.
Tiene por lo tanto un m´aximo absoluto en x “ 0. Esto significa que la moda
ylamediana es x “ 0.

442. Se puede comprobar que para cualquier t ą 0,

tx 2 ´pn`1q{2
a)l´ım e p1 ` x {nq “8.
xÑ8
ż 0
2
tx
b) e p1 ` x {nq ´pn`1q{2 dx ă 8.
´8

Lo anterior lleva a que la integral que aparece en la definici´ondela f.g.m. es
infinita.

443. Cuando n Ñ8,tenemosque

2 ´pn`1q{2 2 ´1{2 2 ´n{2
p1 ` x {nq “ p1 ` x {nq p1 ` x {nq
2
Ñ e ´x {2 .

✐ ✐

✐ ✐