Page 495 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 485 — #491
✐ ✐

485

415. Tanto la moda como la mediana son iguales a µ.

416. Para llevar a cabo la integral Epe tX q se puede hacer el cambio de variable
u “px ´ µq{σ,despu´esunir los exponentes delafunci´on exponencial y com-
pletar el cuadrado. Derivando esta funci´on dos veces y utilizando la f´ormula
n
M pnq p0q“ EpX q se puede hallar la esperanza y la varianza.
n
417. Si n es impar, entonces la funci´on x ÞÑ x fpxq es impar con integral finita
en las partes positiva y negativa del eje. Por lo tanto, su integral sobre R es
n
cero. Si n es par, la integral EpX q puede llevarse a cabo por el m´etodo de
? 2 2
integraci´on por partes con u “ x n´1 y dv “px{ 2πσ q e ´px´µq {2σ dx,en-
2
2
n
contrando que EpX q“pn´1qσ EpX n´2 q.Procediendo de manera iterada,
n! ˆ σ 2 ˙ n{2
n 2 n{2
EpX q“ pn ´ 1qpn ´ 3q¨¨¨ 3 ¨ 1 pσ q “ .
pn{2q! 2
418. Por independencia,
1 2 2 µ 2 t` σ 2 t
2 2
1
ptq“ exp pµ 1 t ` σ t e 2 q
2
M X 1 `X 2 ptq“ M X 1 ptq M X 2 1
1 2 2 2
“ exp ppµ 1 ` µ 2 qt ` pσ ` σ qt q.
1
2
2
419. a) F Z pzq“ PpZ ď zq“ PpX ď µ ` σzq“ F X pµ ` σzq.Derivando se
obtiene f Z pzq“ f X pµ ` σzq¨ σ.Estaexpresi´onse reduce ala funci´on
de densidad normal est´andar.
b) F X pxq“ PpX ď xq“ PpZ ď pz ´ µq{σqq “ F Z ppz ´ µq{σq. Derivando
se obtiene f X pxq“ f Z ppz ´ µq{σq¨ p1{σq.Esta expresi´on es la funci´on
2
de densidad Npµ, σ q.
420.
? ? ? ?
2
Ppa ă Z ă bq “ Pp a ă Z ă bq` Pp´ b ă Z ă ´ aq
? ? ? ?
“ Φp bq´ Φp aq` Φp´ aq´ Φp´ bq
? ? ? ?
“ Φp bq´ Φp aq`p1 ´ Φp aqq ´ p1 ´ Φp bqq
? ?
“ 2 pΦp bq´ Φp aqq.
? ? ?
421. a) PpX ď 7q“ PppX ´ 5q{ 10 ď p7 ´ 5q{ 10q“ Φp2 10q.
? ? ?
b) PpX ą 4q“ PppX ´ 5q{ 10 ą p4 ´ 5q{ 10q“ 1 ´ Φp´1{ 10q.
c) Pp|X ´ 2| ď 3q“ Pp´3 ď X ´ 2 ď 3q“ Pp´1 ď X ď 4q“
? ? ? ? ?
Pp´6{ 10 ď pX ´ 5q{ 10 ď ´1{ 10q“ Φp´1{ 10q´ Φp´6{ 10q.

✐ ✐

✐ ✐