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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 484 — #490
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484 C. Sugerencias a los ejercicios

1{α
410. Si u Pp0, 1q entonces x “p1{λqp´ lnp1 ´ uqq Pp0, 8q,y existe una corres-
pondencia biun´ıvoca entre estos dos intervalos a trav´es de esta funci´on. Sea
1{α
X “p1{λqp´ lnp1 ´ Uqq .Para cualquier x Pp0, 8q,
1 α α
PpX ď xq“ Pp p´ lnp1´Uqq 1{α ď xq“ PpU ď 1´e ´pλxq q“ 1´e ´pλxq .
λ
411. aq Este no es un ejercicio sencillo. El siguiente m´etodo requiere de un poco
de conocimiento de integraci´on sobre el plano y hace uso del cambio de
coordenadas cartesianas a coordenadas polares. Sea I la integral en cuesti´on.
Mediante el cambio de variable y “px ´ µq{σ,elintegrandosereduce a la
funci´on de densidad de la distribuci´on normal est´andar. Tenemos que
8 1 2 8 1 2
ż ż
I 2 “p ? e ´x {2 dxqp ? e ´y {2 dyq
2π 2π
´8 ´8
8 8 1 2 2
ż ż
“ e ´px `y q{2 dx dy.
2π
´8 ´8
Ahora haga el cambio de variable px, yq ÞÑpr cos θ,r sin θq, en donde dx dy
se reemplaza por r dr dθ.
bq Compruebe que f pxq“ 0ssi x “ µ,con f pµq ă 0.
1
2
cq Compruebe que f pxq“ 0ssi x “ µ ˘ σ,con f pxq ą 0si |x ´ µ| ą σ y
2
2
f pxq ă 0si |x ´ µ| ă σ.
2
412. c “ 2.576 . Esto significa que el 99 % de la probabilidad en la distribuci´on
2
Npµ, σ q se encuentra alrededor de la media µ,entre µ´2.576σ y µ`2.576σ.
413. Para la segunda desigualdad observe que
8 2 8 2
ż ż
x e ´u {2 du ď ue ´u {2 du.
x x
El resultado se obtiene al resolver esta ´ultima integral. Para la primera de-
sigualdad defina
ż
8 2 x 2
gpxq“ e ´u {2 du ´ 2 e ´x {2 .
x 1 ` x
Demuestre que gp0q ą 0, g pxq ă 0y l´ım gpxq“ 0.
1
xÑ8
414. aq Lleve a cabo el cambio de variable u “px´µq{σ en la integral correspon-
diente.
bq Lleve a cabo el cambio de variable y “px´µq{σ ydespu´es use integraci´on
? 2
por partes con u “ y y dv “ yp1{ 2πqe ´y {2 dy.
cq Use los dos incisos anteriores.

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