Page 489 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 479 — #485
✐ ✐

479

c) PpX ă 1 |X ă 2q“p1 ´ e ´2 q{p1 ´ e ´4 q.
d) Pp1 ď X ď 2 | X ą 0q“ Fp2q´ Fp1q“ e ´2 ´ e ´4 .

376. Para la esperanza tenemos que, definiendo u “ x y dv “ λe ´λx dx,
8 ˇ 8 1 ˇ 8 1
ż ˇ 8 ż ˇ
q
EpXq“ x λe ´λx dx “ xp´e ´λx ˇ ´ p´e ´λx q dx “´ e ´λx ˇ “ .
ˇ λ ˇ λ
0 0 0 0
De manera similar se pueden calcular los otros momentos.
377. Mostramos ´unicamente el caso del primer momento. Los otros momentos se
pueden calcular de manera an´aloga.
8 8 8 1
ż ż ż
EpXq“ PpX ą xq dx “ p1 ´ Fpxqq dx “ e ´λx dx “ .
0 0 0 λ
378. Use el m´etodo de inducci´on sobre el valor de n. Para n “ 1tenemosque
n
EpXq“ 1{λ.Suponga v´alidoel resultado para n ´ 1. Calcule EpX q usando
el m´etodo de integraci´on por partes encontrando que
n
n n´1
EpX q“ EpX q.
λ
379. Para x ą 0, F cX pxq“ PpcX ď xq“ PpX ď x{cq“ F X px{cq“ 1 ´ e ´pλ{cqx .
Esto significa que cX tiene distribuci´on exppλ{cq.
380. La f.g.m. se calcula como aparece abajo. Derive esta funci´on dos veces y
n
utilice la f´ormula M pnq p0q“ EpX q para hallar la esperanza y la varianza.
8 8 λ
ż ż
tx
Mptq“ e λe ´λx dx “ λe ´pλ´tqx dx “ si t ă λ.
λ ´ t
0 0
381. c p “´p1{λq lnp1 ´ pq.Cuando p “ 1{2seobtiene c 0.5 “pln 2q{λ.
382. Aplique la definici´on de probabilidad condicional y observe que
pX ą x ` yqX pX ą yq“pX ą x ` yq.

383. Para “ 0, 1, 2 ...,
q p1 ´ e
PpY “ yq“ Ppy ă X ď y ` 1q“ e ´λy ´ e ´λpy`1q “pe ´λ y ´λ q.
384. Se observa que si u Pp0, 1q entonces x “p´1{λq lnp1 ´ uqPp0, 8q. As´ı, la
v.a. X toma valores en p0, 8q.Para cualquier x en este intervalo,
1
PpX ď xq“ Pp´ lnp1 ´ Uq ď xq“ PpU ď 1 ´ e ´λx q“ 1 ´ e ´λx .
λ

✐ ✐

✐ ✐