Page 491 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 481 — #487
✐ ✐

481

391. Para n ě 1,

8
ż α´1
n n pλxq ´λx
EpX q“ x λ e dx
0 Γpαq
8
ż α`n´1
αpα ` 1q¨¨¨ pα ` n ´ 1q pλxq ´λx
“ n λ e dx
λ 0 Γpα ` nq
αpα ` 1q¨¨¨ pα ` n ´ 1q
“ n .
λ
392. Para x ą 0,
PpcX ď xq“ PpX ď x{cq
x{c
ż α´1
pλuq ´λu
“ λ e du
0 Γpαq
x
ż α´1
ppλ{cquq ´pλ{cqv
“ pλ{cq e dv.
0 Γpαq
393. La f.g.m. se calcula como aparece abajo. Derive esta funci´on dos veces y
n
utilice la f´ormula M pnq p0q“ EpX q para hallar la esperanza y la varianza.
8 pλxq
ż α´1
Mptq“ e tx λe ´λx dx
0 Γpαq
λ α ż 8 ppλ ´ tqxq α´1 ´pλ´tqx
“ α pλ ´ tqe dx
pλ ´ tq 0 Γpαq
ˆ ˙ α
λ
“ si t ă λ.
λ ´ t
394. Por independencia, para t ă λ,
ˆ ˙ α 1 ˆ ˙ α 2 ˆ ˙ α 1 `α 2
λ λ λ
M X`Y ptq“ M X ptqM Y ptq“ “ .
λ ´ t λ ´ t λ ´ t
395. Por independencia, para t ă λ,
n
ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙
λ λ λ
ptq“ ¨¨¨ “ .
M X 1 `¨¨¨`X n ptq“ M X 1 ptq¨¨¨ M X n
λ ´ t λ ´ t λ ´ t
n´1
396. Para obtener el inciso paq,utilice integraci´on porpartes con u “pλyq {Γpnq
y dv “ λe ´λy dy en la expresi´on que aparece abajo. El inciso pbq se obtiene
aplicando el inciso paq repetidas veces.
x
ż n´1
pλyq ´λy
F n pxq“ λe dy.
0 Γpnq

✐ ✐

✐ ✐