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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 482 — #488
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482 C. Sugerencias a los ejercicios

α
397. Para obtener el inciso paq,utilice integraci´on porpartes con u “ t y dv “
e ´t dt en la expresi´on que aparece abajo. El inciso pbq se obtiene aplicando el
inciso paq repetidas veces, y puede usarse el m´etodo de inducci´on parauna
demostraci´on formal, previa comprobaci´on de los incisos pcq y pdq,los cuales
son ejercicios simples de integraci´on.

8
ż
α ´t
Γpα ` 1q“ t e dt.
0
2
Para obtener el iniciso pdq lleve a cabo el cambio de variable t “ x {2en la
integral dada por Γp1{2q yuselasiguiente identidad queser´a evidente una
vez que revisemos la distribuci´on normal est´andar.

8
ż
1 ´x {2 1
2
? e dx “ .
0 2π 2
398. a)Haga el cambio de variable u “ 1 ´ x en la integral.
b)Este es un ejercicio simple de integraci´on.
c)Esto es consecuencia de los incisos paq y pbq.
a b´1
d)Use integraci´on por partes con u “ x y dv “p1 ´ xq dx.
a b´2
e)Use integraci´on por partes con u “ x p1 ´ xq y dv “p1 ´ xq dx.
f )Esto es consecuencia de los incisos paq y peq.
2
g)Haga el cambio de variable x “ sen θ en la integral.
399. Para x Pp0, 1q yal hacerelcambiode variable v “ 1 ´ u,se obtiene

ż 1 ż x
Pp1´X ď xq“ PpX ě 1´xq“ u a´1 p1´uq b´1 du “ v b´1 p1´vq a´1 dv.
1´x 0

400. Se muestra ´unicamente un procedimiento para encontrar la esperanza. Los
otros momentos pueden hallarse de manera similar, usando laspropiedades
de la funci´on beta.

1 ż 1 a´1 b´1 Bpa ` 1,bq a
EpXq“ xx p1 ´ xq dx “ “ .
Bpa, bq 0 Bpa, bq a ` b

401. Para n ě 0entero y usandolas propiedades de lafunci´on beta, el n-´esimo
momento se puede calcular como aparece abajo. Reduciendo varias veces la

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