Page 485 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 475 — #481
✐ ✐

475

?
e
349. Use la f´ormula de Stirling: n! « 2π n n`1{2 ´n , n grande.
350. La f.g.p. se calcule como aparece abajo. Derive esta funci´on dos veces y utilice
las f´ormulas G p1q p1´q “ EpXq y G p2q p1´q “ EpXpX ´ 1qq para hallar la
esperanza y la varianza.
8 x 8 x
ÿ x ´λ λ ´λ ÿ pλtq
Gptq“ t e “ e “ e λpt´1q .
x! x!
x“0 x“0
351. Para cualquier entero n ě 1,

8 x
ÿ λ
n n ´λ
EpX q“ x e
x!
x“1
8 x´1
ÿ n´1 ´λ λ
“ λ x e
px ´ 1q!
x“1
8 x
ÿ n´1 ´λ λ
“ λ p1 ` xq e
x!
x“0
n´1 ˆ ˙ 8 x
ÿ n ´ 1 ÿ k ´λ λ
“ λ x e
k x!
k“0 x“0
n´1 ˆ ˙
ÿ n ´ 1 k
“ λ EpX q.
k
k“0
352. La f.g.m. se calcule como aparece abajo. Derive esta funci´on dos veces y
n
utilice la f´ormula M pnq p0q“ EpX q para hallar la esperanza y la varianza.
8 x 8 t x
ÿ tx ´λ λ ´λ ÿ pλe q t
Mptq“ e e “ e “ e λpe ´1q .
x! x!
x“0 x“0
353. El resultado se sigue de la hip´otesis de independencia yel teorema decarac-
terizaci´on que aparece en la p´agina 207.
t t t
M X`Y ptq“ M X ptq M Y ptq“ e λ 1 pe ´1q λ 2 pe ´1q “ e pλ 1 `λ 2 qpe ´1q .
e
354. Condicione sobre el valor de N.
8 x 8
ÿ ´λ λ ´λ ÿ x ´λ
355. EpX!q“ x! e “ e λ “ e {p1 ´ λq, si 0 ă λ ă 1.
x!
x“0 x“0
356. Si X denota el n´umero de errores por p´agina, entonces

✐ ✐

✐ ✐