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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 473 — #479
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Se busca demostrar que gpkq es constante igual a uno. Se puede verifi-
car directamente que gp1q, gp2q y gp3q es, efectivamente, uno. Usando
n
` ˘ ` n´1 ˘ ` n´1 ˘
la f´ormula general “ ` puede calcularse gpk ` 1q en
k k´1 k
t´erminos de gpkq yresultaqueambas cantidades sonid´enticas.
2k`1 ˆ ˙
ÿ n ´ 1 n´1
gpk ` 1q “ p1{2q
k
n“k`1
2k`1 „ˆ ˙ ˆ ˙ȷ
ÿ n ´ 2 n ´ 2
k n´1
“p1{2q ` ` p1{2q
k ´ 1 k
n“k`2
2k „ˆ ˙ ˆ ˙ȷ
ÿ m ´ 1 m ´ 1
k m´1
“p1{2q `p1{2q ` p1{2q .
k ´ 1 k
m“k`1
Separe las sumas e identifique los t´erminos gpkq y gpk ` 1q,a˜nadiendo
orestando los sumandos que seannecesarios. Estolleva auna ecuaci´on
entre gpkq y gpk ` 1q que indica que son iguales.
ˆ ˙
n ´ 1
k
k n´k
c)La probabilidad es rp p1 ´ pq n´k `p1 ´ pq p s para n “
k ´ 1
k, k ` 1,... , 2k ´ 1. Cuando p “ 1{2, esta expresi´on se reduce a la del
primer inciso.
d)Proceda como en el segundo inciso. La escritura es m´as elaborada, pues
n´1 k n´k k n´k
en lugar del t´ermino p1{2q ahora aparece p p1´pq `p1´pq p ,
pero los c´alculos son semejantes.
337. Mediante el cambio de variable n “ x ` r,elproblemase reduce aldel
ejercicio anterior.
r´1 ˆ ˙ 2r´1 ˆ ˙
ÿ r ` x ´ 1 r`x ÿ n ´ 1 n´1
F X pr ´ 1q“ p1{2q “p1{2q p1{2q “ 1{2.
x r ´ 1
x“0 n“r
N K N´K
338. Iguale los coeficientes de la identidad pa ` bq “pa ` bq pa ` bq .
339. Para el inciso paq,

n ˆ ˙ˆ ˙ ˆ ˙
ÿ K N ´ K N
EpXq“ x {
x n ´ x n
x“1
n´1 ˆ ˙ˆ ˙ ˆ ˙
K ÿ K ´ 1 pN ´ 1q´ pK ´ 1q N ´ 1
“ n {
N x pn ´ 1q´ x n ´ 1
x“0
K
“ n .
N

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