Page 478 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 468 — #474
✐ ✐

468 C. Sugerencias a los ejercicios

ř x y.La varianzaseobtiene deestosdosprimerosmomentos.
y“1
8
ÿ x
EpXq“ xp1 ´ pq p
x“1
8 x
ÿ ÿ x
“ p 1qp1 ´ pq p
x“1 y“1
8 8
ÿ ÿ x
“ p1 ´ pq p
y“1 x“y
8
ÿ
y
“ p1 ´ pq
y“1
“p1 ´ pq{p.
Otro posible m´etodo consiste en identificar en el sumando una derivada. Un
tercer m´etodo se muestra en la soluci´on del ejercicio siguiente.
x`1
313. No es dif´ıcil demostrar que para x ě 0entero, Fpxq“ 1 ´p1 ´ pq .Por lo
x`1
tanto, 1 ´ Fpxq“p1 ´ pq y, en consecuencia,
8 8
ÿ ÿ
x`1
p1 ´ Fpxqq “ p1 ´ pq “p1 ´ pq{p.
x“0 x“0
314. Para cada entero n ě 0, el evento pX “ nq es id´entico al evento pX 0 “
0,X 1 “ 0,... ,X n´1 “ 0,X n “ 1q.Por lo tanto,

PpX “ nq “ PpX 0 “ 0,X 1 “ 0,... ,X n´1 “ 0,X n “ 1q
“ PpX 0 “ 0qPpX 1 “ 0q¨¨¨ PpX n´1 “ 0qPpX n “ 1q
n´1
“p1 ´ pq p.
315. La f.g.p. se calcula como aparece abajo. Derive esta funci´on dos veces y
utilice las f´ormulas G p1q p1´q “ EpXq y G p2q p1´q “ EpXpX ´ 1qq para
hallar la esperanza y la varianza. Para |t| ă 1{p1 ´ pq,
8 8
X ÿ x x ÿ x
Gptq“ Ept q“ t p1 ´ pq p “ p ptp1 ´ pqq “ p{p1 ´p1 ´ pqtq.
x“0 x“0
316. La f.g.m. se calcula como aparece abajo. Derive esta funci´on dos veces y
n
utilice la f´ormula M pnq p0q“ EpX q para hallar la esperanza y la varianza.
Para |t| ă ´ lnp1 ´ pq,
8 ÿ
8
t
x
t
ÿ
tx
x
Mptq“ Epe tX q“ e p1 ´ pq p “ p pe p1 ´ pqq “ p{p1 ´p1 ´ pqe q.
x“0 x“0

✐ ✐

✐ ✐