Page 481 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 471 — #477
✐ ✐

471

a
` ˘
326. Aplique la definici´on :“ apa ´ 1q¨¨¨ pa ´ x ` 1q{x!, para cualquier a P R,
x
en la expresi´on del lado derecho. Reconstruya el lado izquierdo.
327. La f´ormula iterativa para la funci´on de probabilidad es sencilla de verificar
y de ella se desprenden el resto de las afirmaciones.
328. La variable X puede tomar los valores 0, 1, 2,... Para cualquiera de estos
valores,
n
ÿ
PpX “ xq“ Ppm´ıntn ě r : X k “ ru“ r ` xq
k“1
“ PpX r`x “ 1y en pX 1 ,X 2 ,... ,X r`x´1 q hay r ´ 1unosq
r ` x ´ 1 x r
ˆ ˙
“ p1 ´ pq p .
r ´ 1
329. La f.g.p. se calcula como aparece abajo. Derive esta funci´on dos veces y
utilice las f´ormulas G p1q p1´q “ EpXq y G p2q p1´q “ EpXpX ´ 1qq para
hallar la esperanza y la varianza.

8 ˆ ˙
ÿ x x ` r ´ 1 x r
Gptq “ t p1 ´ pq p
r ´ 1
x“0
8 ˆ ˙
x ` r ´ 1
ÿ x r
“ pp1 ´ pqtq p
r ´ 1
x“0
8
p r ÿ ˆ x ` r ´ 1 ˙ x r
“ r p1 ´p1 ´p1 ´ pqtqq p1 ´p1 ´ pqtq
p1 ´p1 ´ pqtq r ´ 1
x“0
r
“pp{p1 ´p1 ´ pqtqq si |t| ă 1{p1 ´ pq.
330. La f.g.m. se calcula como aparece abajo. Derive esta funci´on dos veces y
n
utilice la f´ormula M pnq p0q“ EpX q para hallar la esperanza y la varianza.
8 ˆ ˙
ÿ tx x ` r ´ 1 x r
Mptq“ e p1 ´ pq p
r ´ 1
x“0
8 ˆ ˙
ÿ x ` r ´ 1 t x r
“ pp1 ´ pqe q p
r ´ 1
x“0
8
p r ÿ ˆ x ` r ´ 1 ˙ t x t r
“ t r p1 ´p1 ´p1 ´ pqe qq p1 ´p1 ´ pqe q
p1 ´p1 ´ pqe q r ´ 1
x“0
t r
“pp{p1 ´p1 ´ pqe qq si |t| ă ´ lnp1 ´ pq.

✐ ✐

✐ ✐