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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 467 — #473
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309. Sea X la v.a. que registra el n´umero de unos que se obtienen en este expe-
rimento. Por lo tanto, X tiene distribuci´on binp10, 1{6q yla informaci´on es
que X ě k.Entonces

10
10
` ˘ k 10´k ř 10 ` ˘ j 10´j
a) PpX “ k |X ě kq“ p1{6q p5{6q { p1{6q p5{6q .
k j“k j
10
ř 10 ` ˘ j 10´j
b) PpX ě k ` 1 |X ě kq“ p1{6q p5{6q
j“k`1 j
10 ` ˘
ř 10 j 10´j
{ p1{6q p5{6q .
j“k j
10 k 10´k 10 k`1 10´k´1
` ˘ ` ˘
c) PpX ď k`1 |X ě kq“ p p1{6q p5{6q ` p1{6q p5{6q q
k k`1
10
ř 10 ` ˘ j 10´j
{ p1{6q p5{6q .
j“k j
10
10 ř 10 ` ˘ j 10´j
d) PpX “ 10 |X ě kq“p1{6q { p1{6q p5{6q .
j“k j
310. a)En cada oportunidad, la bola puede ir a la izquierda o a la derecha y,
convenientemente, se puede asignar el valor 0 y el valor 1 a cada una de
estas situaciones. El n´umero total de trayectorias distintas es entonces
5
5
2 ,cadauna con probabilidad p1{2q .
5
b)El n´umero de trayectorias que llegan a la casilla x es ` ˘ para x “
x
0, 1,... , 5.
c)Se trata de la distribuci´on binp5, 1{2q.La probabilidad de que la bola
5
` ˘ 5
caiga en la urna x es p1{2q .
x
n
d)El n´umero total de trayectorias es 2 yestavez notodas ellas tienen la
misma probabilidad de ocurrir. El n´umero de trayectorias que llegan a
n
` ˘
la casilla x es para x “ 0, 1,... ,n.La probabilidad de que la bola
x
n
` ˘ x n´x
caiga en la urna x es p p1 ´ pq .Estaesladistribuci´on binpn, pq.
x
311. Para demostrar que la suma de las probabilidades es uno, utilice la f´ormula
para sumas geom´etricas que aparece en el ap´endice. Por otrolado, esinme-
diato comprobar que para cualquier entero x ě 0, fpxq ě fpx ` 1q.
312. La esperanza se calcula como aparece abajo. Para el segundo momento use
2
una t´ecnica similar: exprese x “ 2pxpx ` 1q{2 ´ x{2q en donde xpx ` 1q{2 “

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