Page 480 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 470 — #476
✐ ✐

470 C. Sugerencias a los ejercicios

b)Para y “ 1, 2,...

y
F Y pyq“ PpY ď yq“ Pp1 ` X ď yq“ PpX ď y ´ 1q“ 1 ´p1 ´ pq .
c) EpY q“ Ep1 ` Xq“ 1 ` EpXq“ 1 `p1 ´ pq{p “ 1{p.
2
d)VarpY q“ Varp1 ` Xq“ VarpXq“p1 ´ pq{p .
323. Use la f´ormula para sumas geom´etricas para demostrar que la suma de los
10
valores de fpxq es uno. Por otro lado, PpX ą 10q“ p1 ´ θq .
324. Este no es un ejercicio sencillo. Se puede usar la identidad (3.3), que aparece
en la p´agina 238 y la siguiente expansi´on v´alida para |t| ă 1ycualquier
n´umero real a,
8 ˆ ˙
ÿ a
a x
p1 ` tq “ t .
x
x“0
Claramente fpxq ě 0y
8 ˆ ˙ 8 ˆ ˙
ÿ r ` x ´ 1 r x r ÿ x ´r x
p p1 ´ pq “ p p´1q p1 ´ pq
x x
x“0 x“0
8 ˆ ´r ˙
ÿ
“ p r pp ´ 1q x
x
x“0
r ´r
“ p p1 ` p ´ 1q “ 1.
325. Para el primer momento tenemos que
8 ˆ ˙
ÿ r ` x ´ 1 r x
EpXq “ x p p1 ´ pq
x
x“1
1 ´ p ÿ pr ` x ´ 1q! r`1 x´1
ˆ ˙ 8
“ r p p1 ´ pq
p px ´ 1q! r!
x“1
1 ´ p ÿ pr `px ` 1q´ 1q! r`1 x
ˆ ˙ 8
“ r p p1 ´ pq
p x! r!
x“0
1 ´ p
ˆ ˙
“ r .
p
2
Para el segundo momento use la expresi´on x “ xpx ´ 1q` x ysiga un
procedimiento similar al anterior. La varianza se obtiene deestos dos pri-
meros momentos. Un camino m´as corto para demostrar estas f´ormulas es a
trav´es del resultado de la Proposici´on 3.2 y las propiedades generales de la
esperanza y la varianza.

✐ ✐

✐ ✐