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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 472 — #478
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472 C. Sugerencias a los ejercicios

331. Haremos uso de la f.g.m. El procedimiento para usar la f.g.p. es completa-
mente an´alogo. Por la hip´otesis de independencia,

ptq ptq
M X 1 `¨¨¨`X r “ M X 1 ptq¨¨¨ M X r
t t
“pp{p1 ´p1 ´ pqe qq ¨ ¨ ¨ pp{p1 ´p1 ´ pqe qq
t
r
“pp{p1 ´p1 ´ pqe qq .
k
ř
332. aq Utilice la expresi´on PpX ` Y “ kq“ PpX “ uqPpY “ k ´ uq.
u“0
Substituya las probabilidades que aparecen como sumandos y lleve a cabo la
suma para encontrar la funci´on de probabilidad bin negpr ` s, pq.
bq Por la hip´otesis de independencia, G X`Y ptq“ G X ptq¨ G Y ptq.Substituya
las dos expresiones del lado derecho y simplifique encontrandola f.g.p. dela
distribuci´on bin negpr ` s, pq.
cq Por la hip´otesis de independencia, M X`Y ptq“ M X ptq¨M Y ptq.Substituya
las dos expresiones del lado derecho y simplifique encontrandolaf.g.m. de
la distribuci´on bin negpr ` s, pq.
333. El n´umero de personas consultadas hasta obtener 20 que cumplan las carac-
ter´ısticas es la v.a. X ` 20, en donde X tiene distribuci´on bin negpr, pq con
r “ 20 y p “ 1{100. Entonces EpX ` 20q“ EpXq` 20 “ rpp1 ´ pq{pq` 20 “
200. Esta es una aproximaci´on a la respuesta buscada cuando el tama˜no de
la poblaci´on es grande.
ˆ ˙
n ´ 1
6
334. La probabilidad es p1{6q p5{6q n´6 , para n “ 6, 7 ...
5
335. a)La variable Y “ r ` X toma los valores y “ r, r ` 1,... con probabili-
dades
y ´ 1 y´r r
ˆ ˙
f Y pyq“ PpY “ yq“ Ppr`X “ yq“ PpX “ y´rq“ p1´pq p .
y ´ r
b) EpY q“ Epr ` Xq“ r ` EpXq“ r ` rp1 ´ pq{p “ r{p.
2
c)VarpY q“ Varpr ` Xq“ VarpXq“ rp1 ´ pq{p .
ˆ ˙
n ´ 1
336. a)La probabilidad es p1{2q n´1 para n “ k, k ` 1,... , 2k ´ 1.
k ´ 1
b)Puede procederse por inducci´on sobre k.Sea gpkq la suma de las pro-
babilidades, es decir,

2k´1 ˆ ˙
n ´ 1
ÿ n´1
gpkq“ p1{2q .
k ´ 1
n“k

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