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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 465 — #471
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G p2q p1´q “ EpXpX ´ 1qq para hallar la esperanza y la varianza.

n ˆ ˙
ÿ x n x n´x
Gptq “ t p p1 ´ pq
x
x“0
n ˆ ˙
ÿ n x n´x
“ pptq p1 ´ pq
x
x“0
n
“p1 ´ p ` ptq .
301. La f.g.m. se calcula como se muestra abajo usando nuevamente el teorema del
n
binomio. Derive esta funci´on dos veces y utilice la f´ormula M pnq p0q“ EpX q
para hallar la esperanza y la varianza.
n ˆ ˙
ÿ tx n x n´x
Mptq“ e p p1 ´ pq
x
x“0
n ˆ ˙
ÿ n t x n´x
“ ppe q p1 ´ pq
x
x“0
t n
“p1 ´ p ` pe q .
302. Haremos uso de la f.g.m. El procedimiento para usar la f.g.p. es completa-
mente an´alogo. Por la hip´otesis de independencia,
t t
ptq“p1 ´ p ` pe q¨¨¨ p1 ´ p ` pe q
M X 1 `¨¨¨`X n ptq“ M X 1 ptq¨¨¨ M X n
t n
“p1 ´ p ` pe q .
303. a)Sea u cualquier valor en el conjunto t0, 1,... ,n ` mu.Lassiguientes
sumas se efect´uan para todos los valores enteros x y y tales que 0 ď
x ď n,0 ď y ď m y x ` y “ u.Por lahip´otesis deindependencia,
ÿ
PpX ` Y “ uq“ PpX “ xq PpY “ yq
x,y
ˆ ˙ ˆ ˙
ÿ n x n´x m y m´y
“ p p1 ´ pq p p1 ´ pq
x y
x,y
ˆ ˙ˆ ˙
n m
ÿ
u n`m´u
“ p p1 ´ pq
x y
x,y
n ` m u n`m´u
ˆ ˙
“ p p1 ´ pq ,
u
en donde la ´ultima identidad se obtiene a partir del resultado del Ejer-
cicio 83 en la p´agina 68.

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