Page 470 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 460 — #466
✐ ✐

460 C. Sugerencias a los ejercicios

b) Suponiendo que la esperanza es finita, por el lema de Abel,

8 8
ÿ x´1 ÿ
G p1q p1´q “ l´ım xt PpX “ xq“ xPpX “ xq“ EpXq.
tÕ1
x“1 x“1
c) Suponiendo que el segundo momento es finito, por el lema de Abel,
8
ÿ x´2
G p2q p1´q “ l´ım xpx ´ 1qt PpX “ xq
tÕ1
x“2
8
ÿ
“ xpx ´ 1q PpX “ xq
x“2
“ EpXpX ´ 1qq.
Por lo tanto,
G p2q p1´q ` G p1q p1´q ´ rG p1q p1´qs 2
2
“ EpXpX ´ 1qq ` EpXq´ E pXq
“ VarpXq.

n´1
ÿ x n
268. a) Gptq“ t p1{nq“ p1{nqp1 ´ t q{p1 ´ tq.
x“0
b) EpXq“ G p1q p1´q “ pn ´ 1q{2. Use la regla de L’Hˆopital.

269. Las f.g.m.s tienen las expresiones que aparecen abajo. Derive estas funciones
n
dos veces y utilice la f´ormula M pnq p0q“ EpX q para hallar la esperanza y
la varianza.
e t
a) Mptq“ , t ă ln 2.
2 ´ e t
2e t
b) Mptq“ t , t ă ln 3.
3 ´ e
270. Las f.g.m.s tienen las expresiones que aparecen abajo. Derive estas funciones
n
dos veces y utilice la f´ormula M pnq p0q“ EpX q para hallar la esperanza y
la varianza.
t
t
2te ´ 2e ` 2
a) Mptq“ 2 , t ‰ 0.
t
1
b) Mptq“ , t ă 1.
1 ´ t
1
c) Mptq“ , ´1 ă t ă 1.
1 ´ t 2

✐ ✐

✐ ✐