Page 467 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 457 — #463
✐ ✐

457

2
2
2
2
246. EpXq“ a{λ 1 `p1 ´ aq{λ 2 , VarpXq“ a {λ `p1 ´ aq {λ .
2
1
2
247. EpXq“ a, VarpXq“ ℓ {3.
2
2
248. EpXY q“ EppZ ´ 1qpZ ` 1qq “ EpZ ´ 1q“ EpZ q´ 1 “ VarpZq´ 1 “ 0.
ř 2
249. Suponga que VarpXq“ px´EpXqq fpxq“ 0, en donde la suma se efect´ua
x
sobre los valores x tales que fpxq ą 0. Como esta suma consta de t´erminos
no negativos, todos estos t´erminos deben ser iguales a cero.Es decir,para
cualquier valor x tal que fpxq ą 0,
2
px ´ EpXqq fpxq“ 0.
S´olo existe un valor x que cumple estas dos condiciones y es x “ EpXq.Por
lo tanto, X es constante igual a EpXq.
2 3 4
250. Esta distribuci´on surge de la expansi´on logp1`xq“ x´x {2`x {3´x {4`¨ ¨ ¨
para ´1 ă x ă 1. De modo que
2 3 4
´ logp1 ´ pq“ p ` p {2 ` p {3 ` p {4 `¨ ¨ ¨
8 8
ÿ 1 ÿ x
a)Claramente fpxq ě 0y fpxq“ ´ p {x “ 1.
logp1 ´ pq
x“1 x“1
8
1 ÿ x 1 p
b) EpXq“ ´ p “´ .
logp1 ´ pq logp1 ´ pq 1 ´ p
x“1
x
8
8
1 ÿ 1 ÿ ÿ
2 x x
c) EpX q“ ´ xp “´ p 1qp
logp1 ´ pq logp1 ´ pq
x“1 x“1 y“1
8
8
8
1 ÿ ÿ x 1 ÿ p y 1 p
“´ p “´ “´ 2 .
logp1 ´ pq logp1 ´ pq 1 ´ p logp1 ´ pq p1 ´ pq
y“1 x“y y“1
2
d)Esta expresi´on se obtiene al aplicar la f´ormula VarpXq“ EpX q´
2
E pXq.
n
1 `p´1q
n
251. a) EpX q“ .
n ` 2
6
n
b) EpX q“ .
pn ` 2qpn ` 3q
2 n`1
n
c) EpX q“ .
n ` 2
n
1 `p´1q
n
252. EpX ´ µq “ .
pn ` 1qpn ` 2q
✐ ✐
✐ ✐