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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 453 — #459
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distribuci´on no existe pues

ż ż
8 8
|x| fpxq dx “ p1{xq dx “8.
1 1
b)Claramente la funci´on fpxq es no negativa y puede comprobarse que
integra uno al hacer el cambio de variable x “ tan u yrecordar que
2
2
2
dx “ sec u du y1`tan u “ sec u.Por otro lado, la esperanza deesta
distribuci´on no existe pues nuevamente, al hacer el cambio de variable
x “ tan u,setiene que
8 8
ż ż ż π{2
2
|x| fpxq dx “p2{πq x{p1 ` x q dx “p2{πq tan u du “8.
´8 0 0
225. El valor promedio del premio es infinito. As´ı es que, si se desea que el juego
sea justo, el jugador tendr´ıa que pagar una infinidad de unidades monetarias
para participar en este juego.

226. El n´umero promedio de d´ıas es 2.
227. El valor promedio del premio es 161{36.
228. a)Use inducci´on sobre n.
b)Observe que la funci´on ϕpxq“ 1{x es convexa. Utilice el inciso anterior.
229. a “ 1.

230. a) EpY q“ 1{8. c) EpY q“ 1.
b) EpY q“ 1{2. d) EpY q“ 0.

231. a) EpY q“ ep1 ´ pq{p1 ´ epq. b) EpY q“ λ{pλ ´ 1q.

3
232. Puede comprobarse que la variable XY “ X tiene la misma distribuci´on
que X.Se comprueba entoncesque EpXY q“ EpXq EpY q“ 0. Sin embargo,
X y Y no son independientes pues

1{3 “ PpX “´1,Y “ 1q‰ PpX “´1q PpY “ 1q“ p1{3qp2{3q.

233. Claramente ambas funciones son no negativas. Adem´as,
8
ż ˇ 8
ˇ
a) 2p1 ´ Fpxqqfpxq dx “´p1 ´ Fpxqq 2 ˇ “ 1.
0 ˇ 0
8
ż
b) p1 ´ Fpxqq{µdx “ 1, por la f´ormula (2.21) de la p´agina 170.
0

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