Page 461 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 451 — #457
✐ ✐

451

214. Consideremos el caso discreto. El caso continuo es an´alogo. Por hip´otesis,
para cualesquiera valores x, y y z se cumple la identidad
PpX “ x, Y “ y, Z “ zq“ PpX “ xq PpY “ yq PpZ “ zq.

Sumando sobre todos los posibles valores z se obtiene
PpX “ x, Y “ yq“ PpX “ xq PpY “ yq.
Esto demuestra la independencia de X y Y . Los otros dos pares de variables
aleatorias que se pueden obtener tambi´en son independientes por el mismo
argumento.
215. a) EpXq“ pn ` 1q{2. c) EpXq“p2n ` 1q{3.
b) EpXq“ 1.

216. a) EpXq“ 0. d) EpXq“ 4.
b) EpXq“ 25{36. e) EpXq“ 0.
c) EpXq“ 1.

217. Observe que Y ´ X ě 0. Aplique esperanza y use la propiedad de linealidad.
218.
8
ÿ
EpXq “ xfpxq
x“1
8 x
ÿ ÿ
“ p 1q fpxq
x“1 y“1
8 8
ÿ ÿ
“ fpxq
y“1 x“y
8
ÿ
“ PpX ě yq
y“1
8
ÿ
“ p1 ´ PpX ď y ´ 1qq
y“1
8
ÿ
“ p1 ´ Fpxqq.
x“0
2
ÿ
219. a) EpXq“ p1 ´ Fpxqq “ 4{5 ` 2{5 ` 1{5 “ 7{5.
x“0

✐ ✐

✐ ✐