Page 466 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 456 — #462
✐ ✐

456 C. Sugerencias a los ejercicios

a)Verdadero. f )Verdadero.
b)Falso g)Falso, aunque puede concluirse
c)Verdadero. que PpX “ 0q“ 1.
d)Falso. h)Falso.
e)Falso. i)Falso.
n n n
1 ÿ 1 ÿ 1 ÿ
¯
243. a) EpXq“ Ep X i q“ EpX i q“ µ “ µ.
n n n
i“1 i“1 i“1
n n n n
1 ÿ 1 ÿ 1 ÿ ÿ
¯ 2
b) EpX q“ Erp X i qp X j qs “ 2 Er X i X j s
n n n
i“1 j“1 i“1 j“1
n n
1 ÿ ÿ 1 2 2 2 1 2 2
“ EpX i X j q“ pnpσ ` µ q` npn ´ 1qµ q“ σ ` µ .
n 2 n 2 n
i“1 j“1
n n n
¯ 1 ÿ 1 ÿ 1 ÿ 2 1 2
c)VarpXq“ Varp X i q“ 2 VarpX i q“ 2 σ “ σ .
n n n n
i“1 i“1 i“1
244. Desarrollando el cuadrado y usando las propiedades de laesperanza y la
hip´otesis de id´entica distribuci´on entre las variables aleatorias, tenemos que
1 n
2 ÿ “ 2 ¯ ¯ 2 ‰
EpS q“ EpX q´ 2EpX i Xq` EpX q
i
n ´ 1
i“1
1 2
¯
¯ 2
“ r nEpX q´ 2nEpX 1 Xq` nEpX qs
1
n ´ 1
Ahora use la hip´otesis de independencia para demostrar las siguientes iden-
tidades y substituya en la ´ultima expresi´on. Simplificando se obtiene el re-
sultado.
1
¯ 2 2 2
EpX 1 Xq“ rpσ ` µ q` pn ´ 1qµ s,
n
1
¯ 2 2 2
EpX q“ σ ` µ . (Ver ejercicio anterior)
n
245.
VarpX ` Y q“ VarpXq` VarpY q
2 2 2 2 2 2
ô EpX ` Y q ´pEpXq` EpY qq “ EpX q´ E pXq` EpY q´ E pY q
2 2 2 2
ô EpX q` 2EpXY q` EpY q´ E pXq´ 2EpXqEpY q´ EpY q
2 2 2 2
“ EpX q´ E pXq` EpY q´ E pY q
ô EpXY q“ EpXq EpY q.

✐ ✐

✐ ✐