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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 458 — #464
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458 C. Sugerencias a los ejercicios

b n`1 ´ a n`1
n
253. a) EpX q“ .
pn ` 1qpb ´ aq
n n`2
pb ´ aq p1 `p´1q q
n
b) EpX ´ µq “ .
pn ` 1q2 n`1
254. Suponga el caso continuo, el caso discreto se resuelve demaneraan´aloga.
a)Haciendo el cambio de variable u “ a´x ydespu´es usandola propiedad
ş ş ş
8 8 8
de simetr´ıa, EpXq“ xfpxq dx “ pa´uq fpa´uq du “ pa´
´8 ´8 ´8
8
ş
uq fpa ` uq du “ a ´ ufpa ` uq du.Ahora se toma x “ a ` u yse
´8
obtiene EpXq“ 2a ´ EpXq.
b)Haciendo el cambio de variable u “ x´a ydespu´es usandola propiedad
n ş 8 n ş 8 n
de simetr´ıa, EpX ´ aq “ px ´ aq fpxq dx “ u fpa ` uq du “
´8 ´8
8 n n
ş
u fpa´uq du.Ahora se toma x “ a´u yse obtiene EpX ´aq “
´8
8 n n 8 n n
ş ş
pa´xq fpxq dx “p´1q px´aq fpxq dx “´EpX´aq .Siendo
´8 ´8
esta cantidad igual a su negativo, su valor es cero.
255. La primera desigualdad es evidente. La segunda desigualdad se sigue del
2
2
hecho de que VarpXq“ EpX q´ E pXq ě 0.
256. Ambos incisos son, en general, falsos. Tome por ejemplo la variable aleatoria
continua X con valores en el intervalo p0, 1q ycon funci´on dedensidad como
2
3
aparece abajo. Se verifica que EpXq“ 1{2 ą EpX q“ 1{3 ą EpX q“ 1{4.
#
1si 0 ă x ă 1,
fpxq“
0en otro caso.
257. Siendo una variable aleatoria X una funci´on, se dice que ´esta es acotada si
existe una constante finita c tal que |X| ď c.Porlo tanto,
n
n
n
n
|EpX q| ď |Ep|X| q| “ Ep|X| q ď c .
258. En cada inciso utilice el m´etodo de integraci´on por partes para resolver la
integral.
259. aq c 0.7 “ 1 . c 0.8 “ 2 c 0.9 “ 2.
bq c 0.7 “ 0 . c 0.8 “ 1 c 0.9 “ 1.
cq c 0.7 “ 2 . c 0.8 “ 3 c 0.9 “ 4.
260.

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