Page 471 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 461 — #467
✐ ✐

461

t
e ´t ` e ´ 2
d) Mptq“ 2 , t ‰ 0.
t
6 t t
e) Mptq“ 3 pte ` t ´ 2e ` 2q, t ‰ 0.
t
1 4t 2t 1 5t 4t
f ) Mptq“ pe ´ e q` pe ´ e q, t ‰ 0.
4t 2t
bt
bt
271. M aX`b ptq“ Epe tpaX`bq q“ e Epe atX q“ e M X patq.
272. Para cualquier t ą 0,
8 1
ż
Mptq“ e tx 2 dx
πp1 ` x q
´8
8 1
ż
ě e tx 2 dx
0 πp1 ` x q
“8,
pues el integrando e tx 1 tiende a infinito cuando x Ñ8.Un an´alisis
πp1`x 2 q
similar puede llevarse a cabo cuando t ă 0. As´ı, la integral es infinita para
cualquier t ‰ 0.
273. a) PpX ď xq“ x{n.
b) PpX ě xq“ pn ´ x ` 1q{n.
c) Ppx 1 ď X ď x 2 q“ px 2 ´ x 1 ` 1q{n.
d) Ppx 1 ă X ď x 2 q“ px 2 ´ x 1 q{n.
e) Ppx 1 ď X ă x 2 q“ px 2 ´ x 1 q{n.
f ) Ppx 1 ă X ă x 2 q“ px 2 ´ x 1 ´ 1q{n.
3
274. Tanto X como ´X toman los mismos valores que X ylohacen con las
mismas probabilidades. Esto es, para x “´1, 0, 1,
3
PpX “ xq“ Pp´X “ xq“ PpX “ xq“ 1{3.
n
ÿ 1 1 npn ` 1q n ` 1
275. a) EpXq“ x “ “ .
n n 2 2
x“1
n
2 ÿ 2 1 1 npn ` 1qp2n ` 1q pn ` 1qp2n ` 1q
b) EpX q“ x “ “ .
n n 6 6
x“1
2 2
2 2 pn ` 1qp2n ` 1q pn ` 1q n ´ 1
c)VarpXq“ EpX q´ E pXq“ ´ “ .
6 4 12
n
n
n
276. EpX q“ 0 PpX “ 0q` 1 PpX “ 1q“ 1{2.

✐ ✐

✐ ✐