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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 464 — #470
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464 C. Sugerencias a los ejercicios

294. La variable aleatoria producto X 1 ¨¨¨ X n s´olo toma los valores cero y uno. Sus
n
probabilidades son PpX 1 ¨¨¨ X n “ 1q“ PpX 1 “ 1q¨¨¨ PpX n “ 1q“ p y, por
n
n
complemento, PpX 1 ¨¨¨ X n “ 0q“ 1´p .Porlo tanto, X 1 ¨¨¨ X n „ Berpp q.
295. Claramente fpxq es no negativa. Por otro lado, usando el teorema del bino-
mio,
n ˆ ˙
ÿ n x n´x n
p p1 ´ pq “pp `p1 ´ pqq “ 1.
x
x“0
296. a) n “ 12, p “ 1{2.
b) n “ 24, p “ 1{2.

297. La f´ormula iterativa se obtiene como se muestra abajo. Los otros resultados
se derivan de un an´alisis del factor que relaciona fpx ` 1q con fpxq:

n x`1
ˆ ˙
fpx ` 1q “ p p1 ´ pq n´px`1q
x ` 1
p n ´ x ˆ ˙ x n´x
n
“ p p1 ´ pq
1 ´ p x ` 1 x
p n ´ x
“ fpxq.
1 ´ p x ` 1
298. Se muestra ´unicamente el c´alculo de la esperanza. El segundo momento puede
2
calcularse de manera similar, escribiendo x “ xpx ´ 1q` x.La varianzase
encuentra a trav´es de estos dos primeros momentos.

n ˆ ˙
ÿ n x n´x
EpXq “ x p p1 ´ pq
x
x“1
n ˆ ˙
ÿ n ´ 1
“ np p x´1 p1 ´ pq pn´1q´px´1q
x ´ 1
x“1
“ np.
Otro m´etodo consiste en usar el resultado de la Proposici´on3.1, p´agina224,
ylas propiedadesgenerales delaesperanza y lavarianza.

299. La funci´on gpxq“ npp1 ´ pq tiene un m´aximo global en p “ 1{2.

300. La f.g.p. se calcula como se muestra abajo, usando el teorema del binomio.
Derive esta funci´on dos veces y utilice las f´ormulas G p1q p1´q “ EpXq y

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