Page 465 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 455 — #461
✐ ✐

455

2
b)La varianza es VarpXq“ pa{5 ` b{4q´pa{4 ` b{3q . El valor m´ınimo es
3{80 y se alcanza cuando a “ 3y b “ 0.

239. Usando las propiedades demostradas, tenemos que:
2
2
2
a)VarpXq“ EpX q´ E pXq ď EpX q.
b)Varpa ´ Xq“ Varp´X ` aq“ Varp´Xq“ VarpXq.
2
c)VarpaX ` bq“ VarpaXq“ a VarpXq.
d)
2 2
VarpX ` Y q “ ErpX ` Y q s´ E pX ` Y q
2 2 2
“ EpX q` 2EpXY q` EpY q´ E pXq´ 2EpXqEpY q
2
´E pY q
“ VarpXq` VarpY q` 2EpXY q´ 2EpXqEpY q
“ VarpXq` VarpY q` 2 ErpX ´ EpXqqpY ´ EpY qqs.

240. a)

2
gpxq “ ErpX ´ xq s
2
“ ErpX ´ EpXq´ px ´ EpXqqq s
2 2
“ ErpX ´ EpXqq s´ 2px ´ EpXqqErX ´ EpXqs ` px ´ EpXqq
2
“ VarpXq` px ´ EpXqq .
b)Esto es una consecuencia inmediata del inciso anterior pues gpxq es una
funci´on cuadr´atica en x y cuyo valor m´ınimo se alcanza en x “ EpXq.
Este valor m´ınimo es VarpXq.
241. a)Sea x cualquier valor de la variable aleatoria. Como a ď x ď b, multi-
plicando por fpxq ysumando ointegrando, seg´unsea elcaso, se obtiene
el resultado buscado.
2
b)La funci´on gpxq“ ErpX ´ xq s tiene un m´ınimo en x “ EpXq.Ese
valor m´ınimo es VarpXq.Enparticular,
2
2
2
VarpXq ď gppa`bq{2q“ ErpX´pa`bq{2q s ď pb´pa`bq{2q “pb´aq {4.
c)Tome X discreta tal que PpX “ aq“ PpX “ bq“ 1{2. Se comprueba
2
que EpXq“ pa ` bq{2y VarpXq“ pb ´ aq {4.
´
242. Unicamente se provee la validez o invalidez de la afirmaci´on.

✐ ✐

✐ ✐