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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 489 — #495
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n
M pnq p0q“ EpX q para hallar la esperanza y la varianza.
n{2
8 1 1
ż ˆ ˙
e
Mptq“ e tx x n{2´1 ´x{2 dx
0 Γpn{2q 2
n{2
8
1 1 n{2´1 ´xp1´2tq{2
ż ˆ ˙
“ x e dx
0 Γpn{2q 2
n{2
1 1 1 n{2´1 ´u{2
ˆ ˙ n{2 ż 8 ˆ ˙
“ u e du
1 ´ 2t 0 Γpn{2q 2
1
ˆ ˙ n{2
“ .
1 ´ 2t
435. Por la hip´otesis de independencia, para t ă 1{2,
ˆ ˙ pn`mq{2
1
M X`Y ptq“ M X ptq¨ M Y ptq“ .
1 ´ 2t
436. Sea X “´2lnpUq.Seobserva que X es una v.a. continua que toma valores
en p0, 8q.Para x en este intervalo,
PpX ď xq“ Pp´2lnpUq ď xq“ PpU ě e ´x{2 q“ 1 ´ e ´x{2 .

437. Claramente fpxq ě 0. Para demostrar que fpxq integra uno, haga el cambio
2 ´1
de variable u “p1 ` x {nq .La integral se reduce a lafunci´on Bpa, bq con
a “ n{2y b “ 1{2. Recuerde la identidad Bpa, bq“ ΓpaqΓpbq{Γpa ` bq.
438. aq La funci´on x ÞÑ xfpxq es una funci´on impar cuya integral es finita, cuando
n ą 1, en las partes negativa y positiva del eje. Por lo tanto, la integral sobre
todo R es cero.
2 ´pn`1q{2
bq Use integraci´on por partes con u “ x y dv “ xp1 ` x {nq dx.
a
Despu´es haga el cambio de variable y “ x pn ´ 2q{n para reconstruir la
funci´on de densidad tpn ´ 2q.De aqu´ısurge la condici´on n ą 2.
cq En este caso la varianza es el segundo momento.
2
439. Use integraci´on por partes con u “ x m´1 y dv “ xp1 ` x {nq ´pn`1q{2 dx.
a
Despu´es haga el cambio de variable y “ x pn ´ 2q{n para reconstruir el
momento m ´ 2de la funci´on dedensidad tpn ´ 2q.
440. Si m es impar con 2 ď m ă n, entonces la funci´on x ÞÑ xfpxq es una funci´on
impar con integral finita en los intervalos p´8, 0q y p0, 8q.Por lo tanto,la
integral sobre todo R es cero. Si m par con 2 ď m ă n,entoncesel m-´esimo
momento es finito y est´a dado por la expresi´on que aparece en elejercicio

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