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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 492 — #498
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492 C. Sugerencias a los ejercicios

a ´1
cambio de variable y “p1 ` xq ysuponiendo b ą 2, se tiene que
b
a`b ż
a
Γp 2 q ´ ¯ a{2 8 a{2´1 a ´pa`bq{2
EpXq “ a b xx p1 ` xq dx
Γp qΓp q b 0 b
2 2
a`b ˆ ˙ ż 1
Γp 2 q b pb{2´1q´1 pa{2`1q´1
“ a b y p1 ´ yq dy
Γp qΓp q a 0
2 2
a`b ˆ ˙
Γp 2 q b b ´ 2 a ` 2
“ a b Bp , q
Γp qΓp q a 2 2
2 2
a`b ˆ ˙ b´2 a`2
Γp 2 q b Γp 2 qΓp 2 q
“
a b a`b
Γp qΓp q a Γp q
2 2 2
b
“ .
b ´ 2
446. Derive la funci´on de densidad fpxq eiguale a cero. Resuelva laecuaci´on
observando que se debe cumplir la condici´on a ą 2para garantizar que la
soluci´on sea positiva. Analizando la expresi´on de f pxq compruebe que el
1
punto encontrado es un m´aximo y es ´unico.
447. El c´alculo del n-´esimo momento es similar al c´alculo de la esperanza. Supo-
a ´1
niendo b ą 2n yhaciendoelcambio devariable y “p1 ` xq tenemos
b
nuevamente que
a`b ´ ¯ a{2 ż 8
n Γp 2 q a n a{2´1 a ´pa`bq{2
EpX q “ a b x x p1 ` xq dx
Γp qΓp q b 0 b
2 2
n
a`b ˆ ˙ ż 1
Γp 2 q b pb{2´nq´1 pa{2`nq´1
“ a b y p1 ´ yq dy
Γp qΓp q a 0
2 2
a`b ˆ ˙ n
Γp 2 q b b ´ 2n a ` 2n
“ a b Bp , q
Γp qΓp q a 2 2
2 2
a`b ˆ ˙ n b´2n a`2n
Γp 2 q b Γp 2 qΓp 2 q
“ a b a`b
Γp qΓp q a Γp q
2 2 2
n
b Γp 2 qΓp 2 q
ˆ ˙ b´2n a`2n
“ a b .
a Γp qΓp q
2 2
448. Se puede demostrar que para cualquier t ą 0,
a ´pa`bq{2
tx
a{2´1
l´ım e x p1 ´ xq “8.
xÑ8 b
Esto implica que la integral que aparece en la definici´on de la f.g.m. es infinita.
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