Page 515 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 505 — #511
✐ ✐

505

484. Consideraremos ´unicamente el caso discreto. Claramente, para cualquier va-
lor de x, f X|Y px | yq ě 0. Adem´as

f X,Y px, yq f Y pyq
ÿ ÿ 1 ÿ
f X|Y px | yq“ “ f X,Y px, yq“ “ 1.
f Y pyq f Y pyq f Y pyq
x x x
485. Consideraremos ´unicamente el caso discreto. Como f X|Y px | yq es una funci´on
no negativa y que suma uno, tenemos que
ÿ ÿ
¨)l´ım F X|Y px | yq“ l´ım f X|Y pu | yq“ f X|Y pu | yq“ 1.
xÑ8 xÑ8
uďx u
ÿ
¨) l´ım F X|Y px | yq“ l´ım f X|Y pu | yq“ 0.
xÑ´8 xÑ´8
uďx
¨)si x 1 ď x 2 entonces
ÿ ÿ
F X|Y px 1 | yq“ f X|Y pu | yq ď f X|Y pu | yq“ F X|Y px 2 | yq.
uďx 1 uďx 2
¨)Demostraremos que F X|Y px `| yq“ F X|Y px | yq.Sea D “tx 1 ,x 2 ,...u
el conjunto de puntos en donde f X|Y px | yq es estrictamente positiva y
sea x cualquier n´umero real. Si x no es un punto de acumulaci´on por
la derecha de D,entonces F X|Y px | yq“ F X|Y px ` ϵ | yq para ϵ ą 0
suficientemente peque˜no y por lo tanto F X|Y px `| yq“ F X|Y px | yq.
Supongamos ahora que x es un punto de acumulaci´on por la derecha
de D.Como lasuma de los valores de f X|Y px | yq es uno, la diferencia
F X|Y px ` ϵ | yq´ F X|Y px | yq puede hacerse tan peque˜na como se desee
tomando ϵ ą 0 suficientemente peque˜no. Esto significa nuevamente que
F X|Y px `| yq“ F X|Y px | yq.

1{2 si x “ 0,
$
’
’
’
1{4 si x “ 1,
&
486. a) f X | Y px | 0q“
’ 1{4 si x “ 2,
’
’
0 en otro caso.
%
1{6 si x “ 0,
$
’
’
’
& 2{3 si x “ 1,
b) f X | Y px | 1q“
’ 1{6 si x “ 2,
’
’
0 en otro caso.
%
1{5 si x “ 0,
$
’
’
’
1{5 si x “ 1,
&
c) f X | Y px | 2q“
’ 3{5 si x “ 2,
’
’
0 en otro caso.
%
✐ ✐
✐ ✐