Page 446 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 436 — #442
✐ ✐

436 C. Sugerencias a los ejercicios

c
c
c
148. a) PpA X B X C q“ p1 ´ aqp1 ´ bqp1 ´ cq.
c c c c c c
b) PpA X B X C q` PpA X B X C q` PpA X B X Cq
“ ap1 ´ bqp1 ´ cq` p1 ´ aqbp1 ´ cq` p1 ´ aqp1 ´ bqc.
c
c
c
c)1 ´ PpA X B X C q“ 1 ´p1 ´ pqp1 ´ qqp1 ´ rq.
c c c
d) PpA X B X C q` PpA X B X Cq` PpA X B X Cq
“ abp1 ´ cq` ap1 ´ bqc `p1 ´ aqbc.
c c c
e) PpA X B X C q` PpA X B X Cq` PpA X B X Cq` PpA X B X Cq
“ abp1 ´ cq` ap1 ´ bqc `p1 ´ aqbc ` abc.
c c c c c c c c c
f ) PpA XB XC q`PpAXB XC q`PpA XB XC q`PpA XB XCq
“p1´aqp1´bqp1´cq`ap1´bqp1´cq`p1´aqbp1´cq`p1´aqp1´bqc.
g)1 ´ PpA X B X Cq“ 1 ´ abc.
h) PpA X B X Cq“ abc.
149. Para verificar que n eventos son independientes, se deben tomar ´estos por
pares, por tres, por cuatro, etc´etera. El total de identidades por verificar es
entonces
n
n n n ÿ n n n n
ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙
` `¨ ¨ ¨ ` “ ´ ´ “ 2 ´ 1 ´ n.
2 3 n k 0 1
k“0
150. Considere el espacio muestral equiprobable Ω “t1, 2, 3, 4u yloseventos
A “t1, 2u, B 1 “t1, 3u y B 2 “t1, 4u. Es inmediato verificar que A es
independiente de B 1 ytambi´en de B 2 .Sinembargo, A no es independiente
de B 1 Y B 2 , B 1 X B 2 , B 1 ´ B 2 ,ni tampocode B 1 △B 2 .
c
151. Simplemente tome complemento y use el hecho de que los eventos A ,... ,A c n
1
tambi´en son independientes.
n
152. a) Pp“Al menos un evento ocurra”q“ 1 ´p1 ´ pq .
n m n´m
ˆ ˙
b) Pp“Exactamente m eventos ocurran”q“ p p1 ´ pq .
m
n ˆ ˙
ÿ n k n´k
c) Pp“Al menos m eventos ocurran”q“ p p1 ´ pq .
k
k“m
m ˆ ˙
n
ÿ k n´k
d) Pp“A lo sumo m eventos ocurran”q“ p p1 ´ pq .
k
k“0
153. Considere el espacio muestral equiprobable Ω “t1, 2, 3, 4u.
a) Defina los eventos A “t1, 2u, B “t1, 3u y C “t2, 3u.Entonces A y
B son independientes, pero no lo son condicionados al evento C pues
0 “ PpA X B | Cq‰ PpA | CqPpB | Cq“ p1{2qp1{2q.

✐ ✐

✐ ✐