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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 430 — #436
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430 C. Sugerencias a los ejercicios

b)Inicialmente la probabilidad de ganar es de 1{3 y la probabilidad de
que el premio se encuentre en una de las dos puertas no escogidas es
2{3. Si se toma la decisi´on de cambiar de puerta una vez que se ha
abierto una puerta sin premio, la probabilidad de ganar se incrementa
a2{3. Por lo tanto, el concursante debe siempre hacer el cambio.

¿Cu´al de estas soluciones es la correcta? Sean A, B y C las tres puertas.
Denote por las mismas letras al evento cuando el premio se encuentre en
la puerta correspondiente. Sin p´erdida de generalidad, suponga que A es la
puerta escogida por el jugador. Entonces PpAq“ 1{3. Sea B ˚ la puerta
que abre el presentador. Entonces, si el jugador no cambia de puerta, la
probabilidad de ganar es

˚
PpB | AqPpAq
˚
PpA | B q “
˚
˚
˚
PpB | AqPpAq` PpB | BqPpBq` PpB | CqPpCq
p1{2qp1{3q
“
p1{2qp1{3q` p0qp1{3q` p1qp1{3q
“ 1{3.
Por otro lado, si cambia a la puerta no abierta, a la cual llamaremos C,la
probabilidad de ganar es
˚
PpB | CqPpCq
˚
PpC | B q “
˚ ˚ ˚
PpB | AqPpAq` PpB | BqPpBq` PpB | CqPpCq
p1qp1{3q
“
p1{2qp1{3q` p0qp1{3q` p1qp1{3q
“ 2{3.
Por lo tanto, el concursante debe siempre cambiar de puerta, pues al hacer-
lo se incrementa la probabilidad de ganar de 1{3a 2{3. Num´ericamente, la
soluci´on puede corroborarse mediante un programa de c´omputo como el que
aparece abajo.

puertas <- c(1:3) #Puertas
sincambio <- 0 #Variable auxiliar
concambio <- 0 #Variable auxiliar
n<- 1000 #Numero de simulaciones
for(i in 1:n){
x<-c(sample(puertas,1)) #Selecci´on deljugador
premio <- c(sample(puertas,1)) #Puerta con premio
psinpremio <- c(setdiff(puertas,premio))
psinpremio <- c(setdiff(psinpremio,x))

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