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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 426 — #432
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426 C. Sugerencias a los ejercicios

111. Aplique la definici´on de probabilidad condicional y simplifique el lado dere-
cho.
112. En cada inciso use el m´etodo de inducci´on.
a)Claramente PpR 1 q“ r{pr ` bq.Suponga PpR n q“ r{pr ` bq.Para cal-
cular PpR n`1 q, condicione sobre el resultado de la primera extracci´on.
Despu´es de dicha extracci´on, la configuraci´on de la urna ha cambiado
yrestan n extracciones adicionales, y all´ı es donde se usa la hip´otesis
de inducci´on convenientemente interpretada.
b)Aplique la regla del producto que aparece en el ejercicio anterior.

113. Claramente debe cumplirse que p 0 “ 0y p N “ 1. En cambio, para n “
1, 2,... ,N ´ 1, condicionando sobre el resultado de la primera apuesta y
denotando por la letra A 1 el evento cuando el jugador A gana esa primera
apuesta y B 1 cuando B gana la apuesta, tenemos que

PpE n q“ PpE n | A 1 q PpA 1 q` PpE n | B 1 q PpB 1 q“ PpE n`1 qp ` PpE n´1 qq.

Esto es, p n “ p n`1 p ` p n´1 q.Multiplicando ellado izquierdopor p ` q “
1y reacomodando t´erminos se llega a laecuaci´on en diferencias buscada.
Esta ecuaci´on en diferencias puede resolverse directamente mediante alg´un
m´etodo, sin embargo, aqu´ı se pide simplemente comprobar que la respuesta
presentada efectivamente es soluci´on de la ecuaci´on. Verifique esto en los dos
casos: p “ 1{2y p ‰ 1{2.
114. Sean M 1 y M 2 los eventos cuando la persona escogida es mujer en la primera y
segunda selecci´on, respectivamente. De manera similar se definen los eventos
H 1 y H 2 ,en el caso de que la persona sea hombre.Entonces

a) PpM 2 q“ PpM 2 | M 1 q PpM 1 q` PpM 2 | H 1 q PpH 1 q
m ´ 1 m m n m
“ ` “ .
m ` n ´ 1 m ` n m ` n ´ 1 m ` n m ` n
b) PpM 1 | M 2 q“ PpM 2 | M 1 qPpM 1 q{PpM 2 q
m ´ 1 m m ` n m ´ 1
“ “ .
m ` n ´ 1 m ` n m m ` n ´ 1
n
c) PpH 2 q“ .
m ` n
n
d) PpH 1 | M 2 q“ .
m ` n ´ 1
e) PpM 1 X M 2 q` PpH 1 X H 2 q
“ PpM 2 | M 1 qPpM 1 q` PpH 2 | H 1 qPpH 1 q
pm ´ 1qm `pn ´ 1qn
“ .
pm ` n ´ 1qpm ` nq

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