Page 431 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 421 — #427
✐ ✐

421

65. Todo elemento de esta σ-´algebra es la uni´on de algunos de estos cuatro
4
eventos. Hay en total 2 “ 16 eventos. ¿Cu´ales son?
1 1 1
66. En algunos de estos c´alculos conviene observar que “ ´ .
kpk ` 1q k k ` 1
a) Ppt1,... ,nuq “ n{pn ` 1q. c) Ppt1, 3, 5,...uq “ ln 2.
b) Pptn, n ` 1,...uq “ 1{n. d) Ppt2, 4, 6,...uq “ 1 ´ ln 2.

67. a) Ppp0, 1{2qq “ 1{4. c) Ppp1{3, 2{3qq “ 1{3.
b) Ppp´1, 1qq “ 1. d) Ppp1{2, 8qq “ 3{4.

Ω
68. a) Ω “t1,... , 6u, F “ 2 ,Pptiuq “ 1{6.
Ω i`j
b) Ω “tpi, jq : i, j “ 0, 1, 2,...u, F “ 2 ,Pptpi, jquq “ p1{2q {4.
Ω
i
c) Ω “t1, 2,...u, F “ 2 ,Pptiuq “ 1{2 .
d) Ω “p0, 1q, F “p0, 1qX BpRq,Pptpa, bquq “ b ´ a si pa, bq Ď p0, 1q.
´
2
2
2
e) Ω “tpx, yq : x ` y ď 1u, F “ Ω X BpR q,PpAq“ “Area de A”.
5
6
69. a) p “ 1{p3 ¨ 6 q. c) p “ 1{2 .
2 2
5
b) p “ 5{p3 6 q. d) p “ 1{2 .
70. Hay 4 n´umeros positivos de un d´ıgito que son divisibles por 2, p9qp5q“ 45 de
dos d´ıgitos, p9qp10qp5q“ 450 de tres d´ıgitos, p9qp10qp10qp5q“ 4500 de cuatro
d´ıgitos, y p9qp10qp10qp10qp5q“ 45000 de cinco d´ıgitos. El total es 49, 999. De
´estos, 5, 555 empiezan con el d´ıgito 1.
365!
$
&
1 ´ si 2 ď n ď 365,
71. p “ p365 ´ nq!p365q n
1 si n ě 366.
%
n
72. p “ n! pL{nq .
3
73. p “ 6 ¨ 5 ¨ 4{p3! ¨ 6 q“ 5{54.
74. El evento AYBYC genera 7 subregiones no vac´ıas. Cada una de estas subre-
giones debe ser parte de alguno de los tres componentes de la descomposici´on.
7
As´ı, puede haber 3 posibles descomposiciones, suponiendo relevante el orden
de los componentes.
n
75. 2 ´1. Use inducci´on sobre n. Se verifica directamente la f´ormula para n “ 2
y n “ 3. Suponga que la f´ormula vale para n´1conjuntos. Para n conjuntos
n
el n´umero de regiones es 2p2 n´1 ´ 1q` 1 “ 2 ´ 1.

✐ ✐

✐ ✐