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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 417 — #423
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a)1{n. c) pn ` 1q{2n.
2
2
b)4pn ´ 1q{n . d) p3n ´ 2q{n .
22. aq 3{8. bq 5{16.
23. Sean a y b las denominaciones para los lados de la moneda. Entonces
Ω “taaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbbu. Cada elemento de este espacio
3
muestral tiene probabilidad de ocurrir p1{2q .
24. Proceda de manera similar al caso de la probabilidad cl´asica. En lugar de
cardinalidad de un conjunto, ahora se trata del ´area de un conjunto.
25. p “pπ ´ 2q{4.

26. p “p1 ` ln 2q{2.
27. aq p “ 3{4. bq p “ 9{16. cq p “ 1{2.
28. p “ 5{8.
29. p “ 11{12.
30. a) Es suficiente analizar lo que sucede en una de las franjas. Sea x la
distancia de la parte inferior de la aguja al caer y la l´ınea horizontal
inmediata inferior. Tenemos que 0 ď x ă L.Sea θ el ´angulo que hace
la aguja y la l´ınea horizontal que pasa por su punto inferior alcaer,
medido en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del re-
loj. Entonces 0 ď θ ă π. V´ease la Figura C.1. De esta manera tenemos
que el espacio muestral es Ω “r0, πqˆ r0,Lq.Puede considerarse que
el experimento aleatorio consiste en escoger un punto al azardentro de
este rect´angulo. El problema consiste en determinar la regi´on favorable
al evento de inter´es. Observamos que la aguja toca alguna de las l´ıneas
si y s´olo si, x ` y ą L,en donde y “ ℓ sen θ.O bien, x ą L ´ ℓ sen θ.
Esta desigualdad determina la regi´on sombreada de la FiguraC.1 y co-
rresponde a la regi´on favorable en el caso ℓ ď L.El c´alculodel cociente
del ´area sombreada y el ´area total del rect´angulo produce la soluci´on
2ℓ
p “ .
πL
b)Cuando ℓ ě L tenemos que la curva x “ L ´ ℓ sen θ que se muestra
en la parte derecha de la Figura C.1 baja lo suficiente para atravesar o
tocar el eje horizontal. El primer valor de θ en donde la curva toca el eje
horizontal es θ “ arc senpL{ℓq.De esta manera, la regi´on favorableal
evento considera la curva truncada por el eje horizontal. El c´alculo de
esta ´area favorable entre el ´area total del rect´angulo produce la soluci´on
indicada en el enunciado del problema.

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