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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 420 — #426
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420 C. Sugerencias a los ejercicios

55. Al llevar a cabo el paso de inducci´on y demostrar el resultado para n ` 1,
suponiendo su validez para n,agrupe A 1 Y A 2 Y¨ ¨ ¨ YpA n Y A n`1 q y aplique
la hip´otesis de inducci´on.
56. La probabilidad del evento buscado es PpA Y Bq´ PpA X Bq.

57. Las probabilidades de los eventos definidos son:
c
c
c
c
c
c
a) PpA X B X C q` PpA X B X C q` PpA X B X Cq.
c
c
c
b) PpA X B X C q` PpA X B X Cq` PpA X B X Cq.
c) PpA X B X Cq.
Respuesta: el evento A Y B Y C.
58. Compruebe que la funci´on A ÞÑ α PpAq`p1 ´ αq QpAq cumple los tres
axiomas de la probabilidad.
59. a) PpA 1 q“ 5{16.
b) PpA 2 q“ 0.
c) PpA 3 q“ 1.
60. Exprese cada uno de estos eventos como el resultado de aplicar algunas de
las operaciones de uni´on, intersecci´on o complemento de los eventos A y B.
61. Al dibujar un diagram de Venn general para estos dos eventos, uno puede
identificar cuatro regiones distintas y ajenas. Cada evento dela σ-´algebra en
cuesti´on es una uni´on de algunas de estas cuatro regiones.
62. Tomando como ´ultimos elementos al conjunto vac´ıo, puedecomprobarse que
la condici´on de que la uni´on numerable de eventos debe estaren la σ-´algebra
se reduce a la misma condici´on para uniones finitas. Como un ejemplo de
una ´algebra que no es σ-´algebra considere Ω “ N,la colecci´on F “tA Ď
c
N : A es finito o A es finitou ylasucesi´on A n “t2nu para n “ 1, 2,...
Compruebe que F es una ´algebra pero no es una σ-´algebra pues no contiene
a Ť 8 A n “t2, 4, 6,...u.
n“1
63. Como el espacio muestral es finito, al considerar una sucesi´on infinita de
eventos, s´olo un n´umero finito de ellos es distinto. As´ı, cualquier uni´on infinita
de eventos se reduce a una uni´on finita de ellos.
64. Compruebe que la colecci´on definida abajo cumple las tres condiciones de la
definici´on para que sea σ-´algebra.
F 1 X F 2 “tA Ď Ω : A P F 1 y A P F 2 u.
c
Para el tercer inciso, considere por ejemplo F 1 “tH, Ω,A,A u y F 2 “
c
tH, Ω,B,B u.

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