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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 375 — #381
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5.4 El teorema central del l ´ ımite 375

en donde ppx 1 ,... ,x n q tambi´en denota la funci´on de probabilidad con-
junta de las variables X 1 ,... ,X n . En la teor´ıa de la informaci´on, a este
resultado se le conoce como el teorema de equipartici´on asint´otica.

525. Una extensi´on de la ley d´ebil de los grandes n´umeros. Sea
X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de variables aleatorias independientes, no ne-
cesariamente id´enticamente distribuidas, pero con media com´un µ y
varianzas acotadas, es decir, VarpX i q ď c, en donde c es una constante.
Use la desigualdad de Chebyshev para demostrar que, cuando n Ñ8,

n
1 ÿ p
X i Ñ µ.
n
i“1

526. Otra extensi´on de la ley d´ebil de los grandes n´umeros. Sea
X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de variables aleatorias, no necesariamente
id´enticamente distribuidas ni independientes, pero con media com´un
1 ř n
µ y varianzas tales que Varp X i qÑ 0cuando n Ñ8.Usela
n i“1
desigualdad de Chebyshev para demostrar que, cuando n Ñ8,

n
1 ÿ p
X i Ñ µ.
n
i“1

5.4. El teorema central del l´ımite

Este teorema es muy importante y tiene una gama amplia de aplicaciones.
En nuestro caso, nos ayudar´a a simplificar el c´alculo de ciertas probabilida-
des y a aproximar algunas distribuciones.

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