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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 380 — #386
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380 5. Teoremas l ´ ımite

Para obtener las gr´aficas mostradas en la Figura 5.5 de la p´agina 381 se
obtuvieron primero los datos en R usando el ambiente gr´afico RStudio,se
trasladaron despu´es estos datos a LT Xpara su graficaci´on a trav´es del pa-
A
E
quete PSTricks. A fin de que aparecieran ´unicamente l´ıneas horizontales
y verticales en la funci´on de distribuci´on aproximante, se llev´o a cabo un
proceso de interpolaci´on en los subintervalos en donde aparec´ıan l´ıneas in-
clinadas. Las ´ultimas dos gr´aficas requirieron un refinamiento en el n´umero
de puntos a graficar.

Para este mismo ejemplo se muestran en la Figura 5.6, en la p´agina 382,
varios histogramas que, paulatinamente, adquieren la forma de la funci´on
de densidad normal est´andar conforme el par´ametro n crece. En este tipo de
gr´aficas, y para hacer comparaciones entre dos histogramas, es importante
escoger de manera adecuada el tama˜no de la base de los rect´angulos. ‚

Ejemplo 5.3 Se lanza una dado equilibrado repetidas veces y se definen
las variables aleatorias X 1 ,X 2 ,... como los resultados de estos lanzamien-
tos. Es razonable suponer que estas variables aleatorias sonindependientes
y con id´entica distribuci´on uniforme en el conjunto t1, 2, 3, 4, 5, 6u. En par-
¯
2
ticular, la esperanza es µ “ 3.5 y la varianza es σ “ 2.916. Por la ley de los
grandes n´umeros, sabemos que el promedio parcial S n “pX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q{n
se aproxima a la media 3.5 conforme n crece. ¿Cu´antas veces debe lanzarse
el dado de tal forma que S n se encuentre entre 3 y 4 con una probabilidad
de 0.99?

Soluci´on. Se busca el valor de n tal que
Pp3 ď S n ď 4q“ 0.99 .

Restando en cada lado de las desigualdades la media µ ydividiendo entre
a
2
σ {n, la igualdad anterior es equivalente a la expresi´on
3 ´ 3.5 S n ´ 3.5 4 ´ 3.5
q“ 0.99 .
Ppa 2 ď a 2 ď a 2
σ {n σ {n σ {n
Por el teorema central del l´ımite, la probabilidad indicada es aproximada-
a a
2
mente igual a Pp´0.5{ σ {n ď Z ď 0.5{ σ {nq, en donde Z es una va-
2
riable aleatoria con distribuci´on normal est´andar. Es decir, tenemos ahora

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