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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 377 — #383
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5.4 El teorema central del l ´ ımite 377

2
ptq“ e t {2 ,
l´ım M Z n
nÑ8
en donde esta ´ultima expresi´on corresponde a la f.g.m. de una variable alea-
toria con distribuci´on normal est´andar. Por la continuidad de las funciones
generadoras de momentos,

d
Z n Ñ Np0, 1q.

‚
Este resultado establece entonces que para cualquier n´umero real x,

pxq“ Φpxq,
l´ım F Z n
nÑ8
sin importar la distribuci´on de las variables X 1 ,X 2 ,..., as´ı es que ´estas
pueden tener distribuci´on Bernoulli, binomial, exponencial, gama, etc., en
general, pueden ser discretas o continuas, y este resultado sorprendente ase-
gura que la variable Z n tiene siempre una distribuci´on aproximada normal
est´andar para valores grandes de n.

Una forma de expresar el teorema central del l´ımite de manera informal es
a trav´es de la siguiente afirmaci´on: para cualesquiera n´umeros reales a ă b,

pX 1 `¨ ¨ ¨` X n q´ nµ ż b 1 2
Ppa ă ? ă bq« ? e ´x {2 dx.
nσ 2 a 2π

Esto nos permitir´a aproximar probabilidades de eventos que involucran su-
mas de variables aleatorias en t´erminos de probabilidades de la distribuci´on
normal est´andar. Observe que, dividiendo el numerador y denominador en-
tre n, y definiendo S n “pX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q{n, la variable Z n puede escribirse
de la siguiente forma
S n ´ µ
. (5.4)
Z n “ a
2
σ {n
Es interesante observar tambi´en que la ley de los grandes n´umeros asegura
que el numerador de (5.4) converge a cero conforme n tiende a infinito, sin
embargo, el denominador de esta expresi´on tambi´en converge a cero y estos

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