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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 378 — #384
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378 5. Teoremas l ´ ımite

l´ımites ocurren de tal manera que el cociente no es constante, sino una va-
riable aleatoria con distribuci´on normal est´andar.

Como dijimos antes, una de las primeras versiones demostradas del teorema
central del l´ımite es aquella en donde las variables aleatorias tienen distri-
buci´on Bernoulli. Se enuncia a continuaci´on este resultado en el contexto
de ocurrencias o no ocurrencias de un evento en una sucesi´on de ensayos
independientes de un experimento aleatorio cualquiera.

Teorema 5.3 (Teorema de De Moivre-Laplace)
Suponga que se tiene una sucesi´on infinita de ensayos independientes de
un experimento aleatorio. Sea A un evento de este experimento aleatorio
con probabilidad de ocurrencia p ą 0. Sea n A el n´umero de ocurrencias
del evento de inter´es en los primeros n ensayos del experimento. Entonces
para cualesquiera n´umeros reales a ă b,

n A {n ´ p ż b 1 ´x {2
2
ă bq“ ? e dx.
l´ım Ppa ă a
nÑ8 pp1 ´ pq{n a 2π

Simulaci´on 5.2 En el c´odigo que aparece en la Figura 5.4 se muestra la
forma en la que puede usarse el paquete R para comprobar, mediante si-
mulaci´on, el teorema central del l´ımite. Como en el enunciado del teorema,
el par´ametro n corresponde al n´umero de sumandos en X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n .El
par´ametro k “ 1000 se usa para generar k valores al azar de la variable alea-
toria suma X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n , y de esa forma aproximar su funci´on de distribu-
ci´on. En estas simulaciones se ha utilizado la distribuci´on Berppq con p “ 0.7
para los sumandos, lo cual puede modificarse con facilidad. Los resultados
aparecen en la Figura 5.5, en la p´agina 381, para n “ 5, 50, 100, 200, 500
y 1000. Puede apreciarse con claridad la forma sorprendente en la que la
funci´on de distribuci´on de la variable

pX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q´ nµ
Z n “ ?
nσ 2
se hace cada vez m´as parecida a la funci´on de distribuci´on normal est´andar.

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