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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 383 — #389
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5.4 El teorema central del l ´ ımite 383

la ecuaci´on de aproximaci´on

0.5 ´0.5
q“ 0.99 .
2
2
Φpa q´ Φpa
σ {n σ {n
De tablas de la distribuci´on normal est´andar, puede verificarse que el valor
de x tal que Φpxq´ Φp´xq“ 0.99 es x “ 2.58 . De este modo, se tiene que
2
a
0.5{ σ {n “ 2.58, de donde se obtiene n “ 226.5. ‚

Ejemplo 5.4 Se desea dise˜nar un estacionamiento de coches para un con-
junto de 200 departamentos que se encuentran en construcci´on. Suponga
que para cada departamento, el n´umero de autom´oviles ser´a de 0, 1 o 2, con
probabilidades 0.1, 0.6 y 0.3, respectivamente. Se desea que, con una certeza
del 95 %, haya espacio disponible para todos los coches cuando los departa-
mentos se vendan. ¿Cu´antos espacios de estacionamiento deben construirse?

Soluci´on. Sean X 1 ,... ,X 200 las variables aleatorias que denotan el n´umero
de autom´oviles que poseen los futuros due˜nos de los departamentos. Pode-
mos suponer que estas variables aleatorias discretas son independientes unas
de otras y todas ellas tienen la misma distribuci´on de probabilidad:

PpX “ 0q“ 0.1,

PpX “ 1q“ 0.6,
PpX “ 2q“ 0.3 .

De esta forma, la variable aleatoria suma X 1 `¨ ¨ ¨ ` X 200 denota el total
de autom´oviles que habr´a en el complejo de departamentos. Se desconoce
la distribuci´on de esta variable aleatoria, sin embargo se desea encontrar
el valor de n tal que PpX 1 `¨ ¨ ¨ ` X 200 ď nq“ 0.95 . Haremos uso del
teorema central del l´ımite para resolver este problema, y para ello se necesita
calcular la esperanza y varianza de X. Puede comprobarse que EpXq“ 1.2
2
y VarpXq“ 0.36 , cantidades que denotaremos por µ y σ , respectivamente.
La ecuaci´on planteada es entonces

PpX 1 `¨ ¨ ¨` X 200 ď nq“ 0.95 ,

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