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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 376 — #382
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376 5. Teoremas l ´ ımite

Teorema 5.2 (Teorema central del l´ımite) Sea X 1 ,X 2 ,... una su-
cesi´on infinita de variables aleatorias independientes e id´enticamente
2
distribuidas, con media µ y varianza finita σ . Entonces la funci´on de
distribuci´on de la variable aleatoria
pX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q´ nµ
Z n “ ?
nσ 2

tiende a la funci´on de distribuci´on normal est´andar cuando n tiende a
infinito.

Demostraci´on. Por simplicidad, supondremos que, a diferencia del enun-
ciado del teorema, las variables aleatorias tienen todos sus momentos finitos
de tal manera que su f.g.m. es finita y tiene la expresi´on de la serie de po-
tencias (2.28) de la p´agina 205. Nuevamente haremos uso de la notaci´on
o-peque˜na. Podemos calcular la f.g.m. de la variable Z n de la siguiente ma-
nera.

ptq“ Epe tZ n q
M Z n
t
? pp X 1 ´µ q`¨¨¨`p X 1 ´µ qq
“ Epe n σ σ q
t
“pM X´µ p? qq n
σ n
t X ´ µ t 2 X ´ µ 2 t 2 n
“p1 ` ? Ep q` Ep q ` op qq
n σ 2n σ n
t 2 t 2 n
“p1 ` ` op qq
2n n
t 2 n t 2
“p1 ` q ` op q,
2n n
en donde se ha escrito la n-´esima potencia de un trinomio en dos sumandos:
t 2
uno en donde el primer t´ermino tiene exponente n y el segundo t´ermino op q
n
desaparece pues tiene exponente cero, el segundo sumando tiene potencias
2
t
positivas de op q y todos estos t´erminos se agrupan en una misma expresi´on
n
2
t
escrita como op q. Por lo tanto,
n

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