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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 374 — #380
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374 5. Teoremas l ´ ımite

esta distribuci´on y calcule los promedios parciales

n
1 ÿ
s n “ x i n “ 1, 2,... , 1000.
n
i“1
Grafique la funci´on n ÞÑ s n uniendo con una l´ınea recta sus
valores. Denote por µ la media de la distribuci´on. Trace en la
misma gr´afica la funci´on constante µ y compruebe gr´aficamente
que la funci´on n ÞÑ s n oscila y se aproxima al valor µ conforme
n crece. Esta es una comprobaci´on experimental de la ley de los
grandes n´umeros.
b) Haga lo mismo que en el inciso anterior, ahora con una distribu-
ci´on continua de su preferencia.

522. Estimaciones. Sea x 1 ,... ,x n una colecci´on finita de observaciones
de una variable aleatoria con distribuci´on normal con media µ y va-
2
rianza σ desconocidas. Con base en la ley de los grandes n´umeros,
proporcione expresiones en funci´on de x 1 ,... ,x n que puedan servir
2
para estimar los valores de µ y σ .
523. Convergencia de la media geom´etrica. Sea X 1 ,X 2 ,... una su-
cesi´on de variables aleatorias positivas, independientes, id´enticamente
distribuidas y tales que Epln X 1 q“ µ ă 8. Demuestre que, cuando
n Ñ8,
a c.s.
n µ
X 1 ¨¨¨ X n Ñ e .
524. Teorema de equipartici´on asint´otica. La entrop´ıa en base 2 de
una variable aleatoria discreta X con funci´on de probabilidad ppxq se
define como el n´umero
ÿ
HpXq :“´ ppxq log ppxq.
2
x
Demuestre que si X 1 ,X 2 ,... es una sucesi´on de variables aleatorias
discretas, independientes, id´enticamente distribuidas, con funci´on de
probabilidad ppxq y con entrop´ıa finita, entonces, cuando n Ñ8,

1 c.s.
´ log ppX 1 ,... ,X n q Ñ HpX 1 q,
2
n

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