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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 371 — #377
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5.3 La ley de los grandes n´ umeros 371

Esta es la definici´on frecuentista de la probabilidad que hab´ıamos estudiado
antes en la p´agina 31, de la cual hemos podido ahora corroborar su validez
con la ayuda de la teor´ıa desarrollada a partir de los axiomas de la proba-
bilidad de Kolmogorov y, en particular, de la ley de los grandes n´umeros.
‚

Ejemplo 5.2 (M´etodo de Montecarlo) Supongamos que se desea cal-
cular la integral
ż 1
gpxq dx,
0
para una cierta funci´on gpxq integrable en el intervalo p0, 1q. Esta integral
puede escribirse como
ż 1
gpxq fpxq dx,
0
en donde fpxq es la funci´on de densidad de la distribuci´on uniforme continua
en p0, 1q, es decir, es id´enticamente uno en este intervalo. De este modo
la integral anterior puede identificarse como la esperanza de la variable
aleatoria gpXq, en donde X „ unifp0, 1q,es decir,

ż 1
gpxq dx “ ErgpXqs,
0

suponiendo que gpXq es, efectivamente, una variable aleatoria. Si X 1 ,X 2 ,...
son v.a.s i.i.d. con distribuci´on unifp0, 1q, entonces gpX 1 q,gpX 2 q,... tambi´en
son v.a.s i.i.d. (no necesariamente con distribuci´on uniforme) y, por la ley
de los grandes n´umeros, tenemos que, cuando n Ñ8,
n
1 ÿ ż 1
gpX i qÑ gpxq dx.
n
i“1 0
As´ı, un conjunto de observaciones x 1 ,... ,x n de la distribuci´on unifp0, 1q
puede usarse para resolver, de manera aproximada, el problema de integra-
ci´on originalmente planteado:

n
1 ÿ ż 1
gp i q« gpxq dx.
n
i“1 0

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