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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 367 — #373
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5.3 La ley de los grandes n´ umeros 367
la convergencia de sucesiones de variables aleatorias de la forma
n
1 ÿ
X i .
n
i“1
Estamos listos ahora para enunciar y demostrar la ley de los grandes n´ume-
ros y el teorema central del l´ımite.
Ejercicios
519. Para cada n´umero natural n suponga que X n es una variable aleatoria
con distribuci´on unifp0, 1{nq.Sea X la variable aleatoria constante
cero. Demuestre que
d
X n Ñ X.
520. Este es un caso particular en donde la convergencia en probabilidad
es equivalente a la convergencia en distribuci´on. Sea c una constante.
Demuestre que
p d
X n Ñ c si y s´olo si X n Ñ c.
5.3. La ley de los grandes n´umeros
El teorema conocido como la ley de los grandes n´umeros es un resultado
muy interesante que puede observarse en la naturaleza. Constituye uno de
los resultados m´as importantes de la teor´ıa de la probabilidad y tiene mucha
relevancia en las aplicaciones tanto te´oricas como pr´acticas. Este teorema
establece que, bajo ciertas condiciones, el promedio aritm´etico de variables
aleatorias converge a una constante cuando el n´umero de sumandos crece a
infinito. Ya desde el siglo XVI, el matem´atico Gerolano Cardano (1501-1576)
hab´ıa hecho la observaci´on de que la precisi´on de las estad´ısticas emp´ıricas
mejoraban conforme se incrementaba el n´umero de observaciones. Pero fue
Jacobo Bernoulli quien, en 1713 y despu´es de muchos a˜nos de trabajo, logr´o
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