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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 365 — #371
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5.2 Convergencia de variables aleatorias 365

Convergencia en probabilidad

Otra forma a´un menos restrictiva que la convergencia casi segura es la si-
guiente: la sucesi´on de variables aleatorias X 1 ,X 2 ,... converge en probabi-
lidad a la variable aleatoria X si para cualquier ϵ ą 0,

Ppω P Ω : |X n pωq´ Xpωq| ą ϵqÑ 0,

cuando n tiende a infinito. Es decir, la probabilidad del conjunto en donde
X n y X distan en m´as de ϵ converge a cero conforme n Ñ8. En este caso
se escribe
p
X n Ñ X.

Convergencia en distribuci´on (o d´ebil)

El ´ultimo tipo de convergencia que consideraremos hace uso de las funciones
de distribuci´on de las variables aleatorias. Se dice que la sucesi´on de variables
X 1 ,X 2 ,... converge en distribuci´on, o que converge d´ebilmente, a la variable
aleatoria X si, cuando n Ñ8,

pxqÑ F X pxq,
F X n
para todo punto x en donde F X pxq es continua. Es decir, para aquellos
valores reales x que cumplan la condici´on mencionada, debe verificarse que

l´ım PpX n ď xq“ PpX ď xq.
nÑ8
En este caso se escribe
d
X n Ñ X.

El teorema de continuidad de la funci´on generadora de momentos que enun-
ciamos en la p´agina 208 se refiere prec´ısamente a este tipo de convergencia.
Existen otros tipos de convergencia para variables aleatorias, pero los que
hemos mencionado son suficientes para poder enunciar algunos teoremas
l´ımite importantes en probabilidad. Antes de pasar al estudio de estos re-
sultados, responderemos a la pregunta que posiblemente se habr´a hecho el
lector respecto a las posibles relaciones que pudieran existir entre los tipos

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