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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 361 — #367
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5.1 Desigualdad de Chebyshev 361

509. Demostraci´on alternativa de la desigualdad de Chebyshev. El
siguiente procedimiento hace uso del m´etodo de truncamiento de una
variable aleatoria para demostrar la desigualdad de Chebyshev. Bajo
las mismas condiciones y notaci´on del enunciado de esta desigualdad,
lleve a cabo los siguientes pasos.

a) Defina la variable aleatoria

# 2 2
0 si pX ´ µq ă ϵ ,
Z “
2
2
ϵ 2 si pX ´ µq ě ϵ .
2
2
b)Observe que 0 ď Z ď pX ´µq y por lo tanto EpZq ď EpX ´µq .
c) Calcule EpZq y obtenga la desigualdad de Chebyshev del inciso
anterior.

2
510. Desigualdad de Markov . Demuestre cada uno de los siguientes
resultados. A cualquier de ellos se le llama desigualdad de Markov.

a)Sea X una variable aleatoria no negativa y con esperanza finita
µ. Demuestre que para cualquier constante ϵ ą 0,
µ
PpX ě ϵq ď . (5.2)
ϵ

b)Sea X una variable aleatoria no negativa y con n-´esimo momento
finito. Demuestre que para cualquier constante ϵ ą 0,

n
EpX q
PpX ě ϵq ď .
ϵ n
c)Sea X una variable aleatoria y sea ϕ ě 0 una funci´on con valores
reales, mon´otona no decreciente tal que ϕpXq es una variable
aleatoria con esperanza finita y su inversa ϕ ´1 existe. Demuestre
que para cualquier constante ϵ ą 0,

EpϕpXqq
PpX ě ϵq ď .
ϕpϵq
2
Andrey Andreyevich Markov (1856–1922), matem´atico ruso.

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