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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 356 — #362
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356 4. Vectores aleatorios

Proposici´on 4.2 El coeficiente de correlaci´on entre dos variables alea-
torias X y Y con varianzas finitas distintas de cero satisface las desigual-
dades
´1 ď ρpX, Y q ď 1.

V´eanse los ejercicios 504 y 505 para una demostraci´on de este resultado.
Explicaremos ahora la interpretaci´on del coeficiente de correlaci´on. Cuando
X y Y son tales que ρpX, Y q“ 1, entonces existen constantes a y b, con a
positiva tales que Y “ aX ` b, es decir, se puede establecer una dependen-
cia lineal directa entre las dos variables aleatorias. En el otro caso extremo,
cuando ρpX, Y q“ ´1, entonces nuevamente existen constantes a y b,pero
ahora con a negativa, tales que Y “ aX ` b. De nuevo, se trata de una
relaci´on lineal entre las dos variables aleatorias, pero ahora tal relaci´on es
inversa en el sentido de que cuando una de las variables aleatorias crece, la
otra decrece. De esta forma, el coeficiente de correlaci´on es una medida del
grado de dependencia lineal entre dos variables aleatorias.

Existen varias formas en que dos variables aleatorias pueden depender una
de otra, el coeficiente de correlaci´on no mide todas estas dependencias, ´uni-
camente mide la dependencia de tipo lineal. As´ı, hemos mencionado que
cuando el coeficiente de correlaci´on es `1, ´o ´1, la dependencia lineal es
exacta. Como en el caso de la covarianza, puede demostrarse que si dos va-
riables aleatorias son independientes, entonces el coeficiente de correlaci´on
es cero, y nuevamente, el rec´ıproco es, en general, falso, es decir, la condici´on
de que el coeficiente de correlaci´on sea cero no es suficiente para garantizar
que las variables aleatorias sean independientes, excepto en el caso en el
que las variables tienen distribuci´on conjunta normal. Esta distribuci´on se
ha definido en el Ejercicio 463, en la p´agina 321.

Ejercicios

503. Calcule el coeficiente de correlaci´on entre X y Y cuando estas variables
tienen distribuci´on conjunta como se indica en cada inciso.

a) fpx, yq est´a dada por la siguiente tabla.

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