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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 357 — #363
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4.10 Coeficiente de correlaci´ on 357

x z y 0 1
0 1{4 1{4
1 1{4 1{4

$
’ 3x si 0 ă x ă y ă 1,
&
b) fpx, yq“ 3y si 0 ă y ă x ă 1,
’
0 en otro caso.
%
504. Siga las siguientes indicaciones para demostrar que el coeficiente de
correlaci´on ´unicamente toma valores en el intervalo r´1, 1s.
a) Sean U y V dos variables aleatorias, ambas con esperanza nula y
con segundo momento finito. Claramente, para cualquier n´umero
real t,
2
ErptU ´ V q s ě 0. (4.4)
b) Considerando la ecuaci´on cuadr´atica en t al desarrollar el cua-
drado en (4.4) y observando el signo del discriminante, obtenga
la desigualdad
2
2
2
E pUV q ď EpU q EpV q. (4.5)
c)Substituya U “ X ´ EpXq y V “ Y ´ EpY q en (4.5) y obtenga
el resultado buscado.
505. Demuestre las siguientes dos identidades y, a partir de ellas, demuestre
nuevamente que el coeficiente de correlaci´on ´unicamente toma valores
en el intervalo r´1, 1s.
` X Y ˘
a) Var ? ` ? “ 2p1 ` ρpX, Y qq.
VarpXq VarpY q
` X Y ˘
b) Var ? ´ ? “ 2p1 ´ ρpX, Y qq.
VarpXq VarpY q
506. Otras propiedades del coeficiente de correlaci´on. Demuestre las
siguientes propiedades.

a) ρpX, Xq“ 1.
b) ρpX, ´Xq“´1.
c) ρpX, Y q“ ρpY, Xq.

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