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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 360 — #366
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360 5. Teoremas l ´ ımite

Demostraci´on. Supongamos primero que X es continua con funci´on de
densidad fpxq. Entonces
8
ż
2
σ 2 “ px ´ µq fpxq dx
´8
ż
2
ě px ´ µq fpxq dx
|x´µ|ěϵ
ż
ě ϵ 2 fpxq dx
|x´µ|ěϵ
2
“ ϵ Pp|X ´ µ| ě ϵq.
Despejando la probabilidad encontrada se obtiene el resultado. La demos-
traci´on es enteramente an´aloga en el caso cuando X es discreta, para ello
debe reemplazarse la integral por el s´ımbolo de suma. ‚

Una demostraci´on alternativa de este resultado aparece en el Ejercicio 509.
Observemos que el par´ametro ϵ que aparece en la desigualdad de Cheby-
shev debe ser, en realidad, estrictamente mayor a σ pues de lo contrario,
2
2
si 0 ă ϵ ď σ, entonces σ {ϵ ě 1 y tal cantidad no proporciona ninguna
informaci´on ´util como cota superior para una probabilidad. Es tambi´en in-
teresante observar que la desigualdad de Chebyshev es ´optima en el sentido
de que, sin hip´otesis adicionales, se puede alcanzar la cota superior. En el
Ejercicio 514 se pide comprobar este hecho en un caso particular. Haremos
uso de la desigualdad de Chebyshev m´as adelante para demostrar la ley
d´ebil de los grandes n´umeros.

Ejercicios

508. Bajo las mismas condiciones y notaci´on del enunciado de la desigual-
dad de Chebyshev, demuestre que
σ 2
a) Pp|X ´ µ| ď ϵq ě 1 ´ .
ϵ 2
1
b) Pp|X ´ µ| ě ϵσq ď .
ϵ 2
1
c) Pp|X ´ µ| ď ϵσq ě 1 ´ .
ϵ 2

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